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Diseño Geométrico: Lo Básico

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This post is part of a series called Geometric Design for Beginners.
Geometric Design: Working With 4 and 8

Spanish (Español) translation by RRGG (you can also view the original English article)

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En civilizaciones anteriores, la ciencia (la matemática en particular), religión, y arte no estaban separadas. Ni siquiera tenemos una palabra para el amplio y fluido campo que formaron juntos, pero podemos tener una sensación de ello al ver cualquiera de los trabajos impresionantes de arte geométrico que ha sobrevivido hasta ahora, y son usualmente parte de una estructura sagrada.

Rose window in Notre Dame cathedralRose window in Notre Dame cathedralRose window in Notre Dame cathedral
La ventana rosa norte en la catedral de Notre Dame, París.

La geometría no es nada sino números hechos visibles. De hecho es la misma manifestación de los números, mucho antes que los símbolos abreviados - 1,2,3 - fueron creados para ellos. Los geómetros entendieron la relación entre los números al ves las formas geométricas relacionadas una con la otra, como los números que tenían bastante significado, también los patrones de los cuales emergían estaban cargados de significado. La naturaleza doble dimensional y de naturaleza abstracta de la geometría fue entendida como estando un paso más cerca a lo cero dimensional, Divino y desconocido que nuestro mundo físico, y su belleza estaba literalmente fuera de este mundo.

Tessellated pattern in the AlhambraTessellated pattern in the AlhambraTessellated pattern in the Alhambra
Patrón de decoración con Mosaicos en la Alhambra, España. Foto por Gruban.

La fascinación con la geometría y los patrones matemáticos está reemergiendo hoy en día: la podemos ver en la popularidad creciente del arte fractal. No hay necesidad, sin embargo, para que un software especial cree complejos diseños geométricos de alta calidad, y de hecho es profundamente satisfactorio, incluso meditativo, lentamente quitarlos de la nada blanca de la hoja de papel, como lo haremos en estos tutoriales.

Empezaremos con la construcción de bloques de geometría, amaestrando construcciones simples durante las primeras lecciones. Después iremos a los patrones y a construcciones más elaboradas, y las últimas pocas lecciones afrontarán trabajos realmente complejos pero de recompensa de geometría.

Terminología

Para empezar, definamos algunos términos que surgirán regularmente en estas lecciones. Probablemente ya estés familiarizado con varios de ellos.

Terminology 1Terminology 1Terminology 1
  • Un círculo es la forma geométrica más simple, una curva cerrada donde todos los puntos están a la misma distancia del centro.
  • Un diámetro es cualquier línea que conecta dos puntos en un círculo y pasa a través del centro.
  • Un radio es cualquier línea que conecta el centro de un círculo a su circunferencia (prácticamente hablando, este es nuestro compás abriendo cuando se dibuja un círculo).
  • Una cuerda es cualquier línea que conecta dos puntos en un círculo, sin tener que pasar por el centro.
  • Un semicírculo es exactamente la mitad de un círculo.
  • Un arco es cualquier segmento de un círculo que no es un semicírculo.
  • Una tangente es una línea que simplemente toca un círculo en un punto específico.
Terminology 2Terminology 2Terminology 2
  • Un agudo es un ángulo menos a 90 grados.
  • Un ángulo recto es exactamente a 90 grados, y el pequeño cuadrado marcado dentro de él es una manera convencional de indicar un ángulo correcto en un diagrama.
  • Un ángulo obtuso es mayor a 90 grados.
  • Un triángulo es cualquier forma cerrada con tres lados rectos. Un triángulo aleatorio, opuesto a los próximos tres, también es llamado un triángulo escaleno. La suma de los ángulos en cualquier triángulo siempre es 180 grados.
  • Un triángulo recto tiene un ángulo recto. Los otros dos ángulos no tienen que ser iguales, y los lados varían.
  • Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales (los tamaños iguales son indicados por guiones en un diagrama).
  • Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales, y sus tres ángulos también son iguales (60 grados).
Terminology 3Terminology 3Terminology 3
  • Un cuadrilátero es cualquier forma cerrada con cuatro lados rectos. La suma de los ángulos en un cuadrilátero siempre es 360 grados.
  • Un rectángulo es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos. Por necesidad, los dos lados opuestos uno al otro son paralelos y de la misma longitud.
  • Un cuadrado es un rectángulo especializado donde los cuatro lados son iguales.
  • Un rombo también tiene cuadro lados iguales, con los dos opuestos al otro paralelos, pero sin ángulos rectos.
  • Las próximas ocho formas son polígonos (formas cerradas con más de cuatro lados) con cinco, seis y hasta 12 lados. Todos sus lados y ángulos son iguales.

Herramientas

La geometría fue originalmente practicada con nada sino una cuerda y estacas, así que no requiere de herramientas de lujo, solo unas que formen las medidas correctas, cuando se trabaja en un papel. Solo necesitas tres cosas: un lápiz, una esquina recta, y un compás.

Lápices

Un lápiz de grafito básico es perfectamente adaptable para el trabajo, pero no solo agarres el primero que encuentres: necesita tener la dureza correcta. En la imagen a continuación notarás la etiqueta HB en el lápiz anaranjado, y el 6H en el gris. Estas son indicaciones para su nivel de dureza. B indica un plomo suave, y mientras más alto el número (4B, 5B), más suave.

Un plomo más suave dejará una marca más oscura que no marque el papel, pero que se manche fácilmente. H indica un plomo fuerte, graduado similarmente, que solo dejará una marca leve, y no se manchará, pero marcará al papel si se presiona muy fuerte. HB, obviamente, es el feliz medio.

Traditional pencilsTraditional pencilsTraditional pencils

Cuando se construyen patrones geométricos, ¡no querrás lápices suaves! La razón es que las líneas de construcción oscuras rápidamente se vuelven confusas, y manchar es inevitable. Los plomos suaves también pierden dureza rápidamente, resultando en un constante afilamiento, o una pérdida de exactitud al dibujar.

Lo que queremos, en vez de eso, es construir la imagen con líneas de construcción leves, y usar un lápiz más suave para recoger las líneas finales de los patrones. Para eso es que están estos dos lápices: el 6H permanece afilado por un largo tiempo y hace una línea bastante suave, sobre la cuál líneas finales hechas por el HB realmente resaltan.

Para patrones muy complicados, una oscuridad intermedia de línea podría ser añadida entre ellos, por ejemplo un 3H o un 2H. Es importante, sin embargo, aprender a dibujar levemente con lápices H, porque si marcan el papel y esa es una marca que no puede ser quitada. Cuando el trabajo del lápiz esté completado, el patrón podría estar manchado, y el lápiz un poco esparcido, o pintado, el cuál cubrirá al lápiz, o se transferirá a una hoja de papel completamente limpia usando un papel de trazado si se desea.

La ventaja de lápices tradicionales de plomo es su asequibilidad, pero la desventaja es cuán frecuentemente necesitan que los afilen, y su impacto en el ambiente. Una alternativa que prefiero personalmente es un buen lápiz mecánica 2mm (aka péncil de croche o apoyador de plomo), tal como el mostrado en la foto a continuación, con un afilador de lápices y una caja de plomos. Podrías tener solo un lápiz e intercambiar los plomos cuando sea necesario. Evita aquellos plomos más delgados, tal como el 0.5 mm, porque no pueden ser afilados hasta un punto real (¡el 0.5 mm es bastante grueso para nuestros propósitos!) y porque no tendrás una opción de dureza o blandeza.

Mechanical pencilMechanical pencilMechanical pencil

Punta Recta o Regla

Hablando de forma estricta, las medidas nunca son usadas en geometría ya que no son tan exactas como las propias construcciones, y nunca las usaremos en este curso. Tendríamos que salirnos de nuestro camino, sin embargo, para encontrar un borde recto sin marcas de medidas, así que mejor recogeríamos una buena regla.

Para herramientas de precisión, no puedes equivocarte con las marcas que atienden a los arquitectos, y en cada tienda de arte tendrán al menos una de esas. Podrías preguntarte, ¿por qué cualquier regla no sería lo suficientemente buena? Bueno, no: las marcas podrían no importar mucho, ¡pero la rectitud es bastante importante!

Aquí está cómo probar el borde recto de una regla: dibuja una línea a lo largo del borde la regla, entonces voltea la regla y dibuja una línea encima de la primera a lo largo del mismo borde. He probado esto con una regla confiable que he estado usando desde 1997:

Good rulerGood rulerGood ruler

Hagamos un acercamiento: ¿ves cómo la línea todavía es definitivamente una sola línea? Esto significa que el borde es perfectamente recto.

Good ruler close-upGood ruler close-upGood ruler close-up

Después probé con un borde de metal, y verás porqué tales bordes están bien para cortar pero nunca deberían ser usados para un trabajo de precisión.

Bad rulerBad rulerBad ruler

En la foto acercada arriba, ¿ves cómo la línea se divide a la derecha? Si toda la imagen podría caber en esta pantalla, podrías ver que aunque las dos líneas están dibujadas a lo largo del mismo borde, capturan un espacio estrecho, indicando que el borde está algo curvado. ¡Justo lo que queremos evitar!

Compás

Nuestra más interesante e importante herramienta también es la más costosa, pero un buen compás vale su peso en oro y durará una vida entera. Siempre está bien usar un compás más barato de colegio para aprender, por supuesto, y actualizarlo cuando ya llegues a trabajos más serios (o cuando te frustres lo suficiente con la carencia de precisión).

Un compás básicamente tiene dos piernas conectadas por una bisagra: una pierna termina en una punta de aguja, y la otra en una punta de lápiz. La pierna de lápiz puede ser ajustada para obtener diferentes aperturas, y volteada mientras que la punta de aguja se mantiene firme en el papel, lo que crea un círculo. Es completamente posible crear figuras geométricas complejas con nada más que un compás, replicar los métodos de cuerda y estacas usados en la arquitectura mucho tiempo atrás.

Compass and accessoriesCompass and accessoriesCompass and accessories

Qué Buscar en un Compás

  1. Un mecanismo de tornillo para cambiar la apertura del compás (o al menos un tornillo para ajustar la bisagra para que se mantenga puesta una vez que hayas establecido la apertura deseada). No querrás un compás que se abra y cierre fácilmente, ya que la apertura inevitablemente cambiará mientras trabajas.
  2. Una punta intercambiable del lápiz. El final del brazo derecho del compás arriba puede ser quitado y reemplazado con una pequeña herramienta a la derecha, en la cual cualquier dibujo pueda ser insertado: lápiz, bolígrafo, bolígrafo de regla, o incluso un pincel. Esto es increíblemente útil, ya que la alternativa sería tintar o colorear las líneas a mano libre, poniendo en peligro la perfección de la curva.
  3. Un brazo de extensión: Este es el accesorio más largo al final. Lo hace posible dibujar círculos mucho más grandes. Por ejemplo, este compás puede gestionar un círculo con un radio de alrededor de 25 centímetros, pero el brazo de extensión estira esto hasta los 35 centímetros.

Algunos compases no tienen un plomo como lo tiene este, pero están diseñados para que se ajusten a un lápiz. Eso está bien: entonces se vuelve un tema de preferencia personal, sujeto a los mismos pros y contras como he explicado cuando comparo los lápices tradicionales con los lápices mecánicos.

Consejos para Usar un Compás

  • Cubre la superficie del trabajo con una gran pieza de tarjeta o tablero de montura (de al menos del tamaño del papel), ambos para protegerlo de la punta de la aguja, y también para que la punta pueda penetrar lo suficiente como para mantenerse en sitio. De otra manera puede volverse bastante frustrante, ya que seguirá resbalándose.
  • Coloca la aguja o punta seca, con bastante precisión, donde quieres que esté, y después sostén el manubrio (arriba), entre tu pulgar y dedo índice para rotarlo y crear un círculo. Obtener un círculo bello y completamente redondo de esta manera toma algo de práctica al principio - eso es normal. Trata de mantener al compás razonablemente recto mientras dibujas. Nunca sostengas el compás con una pierna en cada mano, ya que eso altera la apertura.
  • Debo destacar esto: ten bastante cuidado al colocar la punta de la aguja correctamente, y de mantener afilado el extremo del lápiz. La razón por la que algunas personas son buenas en geometría y algunas no lo son recae en la precisión.

Construcciones Básicas

Ya es suficiente teoría, ¡comencemos a dibujar! Recolecta tus herramientas y algún papel de cartucho, y empecemos.

Leyenda de Diagramas

En los diagramas de construcción a través del curso, uso los siguientes tipos y colores de líneas. Aquí está a lo que se refieren:

Diagrams legendDiagrams legendDiagrams legend

Triángulo (en un Lado Dado)

Aquí está cómo proceder si estás empezando desde un segmento de línea, lo que significa que ya tienes uno de los lados del triángulo.

Paso 1

Punto seco en A, dibuja un arco desde B.

Triangle on a given side step 1Triangle on a given side step 1Triangle on a given side step 1

Paso 2

Punto seco en B, dibuja un arco desde A para encontrar el tercer punto C.

Triangle on a given side step 2Triangle on a given side step 2Triangle on a given side step 2

Paso 3

Únete. Si la apertura de tu compás es más grande o pequeño que AB, el triángulo es isósceles.

Triangle on a given side step 3Triangle on a given side step 3Triangle on a given side step 3

Triángulo (en un Círculo)

Si tienes un círculo dado y necesitas inscribir un triángulo equilateral en él (significando que sus tres puntos estarán en el círculo), sigue estos pasos:

Paso 1

Dibuja una línea a lo largo del centro, cortando el círculo en A y en B.

Triangle in circle step 1Triangle in circle step 1Triangle in circle step 1

Paso 2

Con la misma apertura del compás, dibuja un arco que corte el círculo en los puntos C y D.

Triangle in circle step 2Triangle in circle step 2Triangle in circle step 2

Paso 3

Únete a BCD.

Triangle in circle step 3Triangle in circle step 3Triangle in circle step 3

Bisector Perpendicular

Este término que suena técnico se refiere a una línea que hace dos cosas: divide el segmento (o un ángulo) en dos largos iguales (o ángulos), y estará a un ángulo correcto del segmento que divide. Este es un dispositivo bastante importante y es frecuentemente usado en el proceso de construir otras figuras.

Paso 1

Con el punto en A y el compás abriéndose igual a AB, dibuja un arco.

Perpendicular bisector step 1Perpendicular bisector step 1Perpendicular bisector step 1

Paso 2

Repítelo con el punto en B. Los dos arcos intersectan sobre y por abajo.

Perpendicular bisector step 2Perpendicular bisector step 2Perpendicular bisector step 2

Paso 3

Únete a los dos puntos de intersección. El segmento ahora estará biseccionado y la O es el punto medio entre A y B.

Perpendicular bisector step 3Perpendicular bisector step 3Perpendicular bisector step 3

Tangente A Través de un Punto en un Círculo

Si tienes un punto dado (P) en un círculo y necesitas dibujar la tangente a través de este punto particular:

Paso 1

Empieza por dibujar un diámetro que pase a través de P y por el centro de la O, y corte el círculo en otro punto A.

Tangent through a point on a circle step 1Tangent through a point on a circle step 1Tangent through a point on a circle step 1

Paso 2

Establece la apertura de tu compás a la distancia AP, pon el punto en la O y dibuja un arco grande, casi un semicírculo. Corta la línea AP en B.

Tangent through a point on a circle step 2Tangent through a point on a circle step 2Tangent through a point on a circle step 2

Paso 3

Sin cambiar la apertura del compás, pon el punto en B y corta el arco en C y en D.

Tangent through a point on a circle step 3Tangent through a point on a circle step 3Tangent through a point on a circle step 3

Paso 4

La línea CD es tu tangente en P.

Tangent through a point on a circle step 4Tangent through a point on a circle step 4Tangent through a point on a circle step 4

Tangente a un Círculo Desde un Punto Externo

Supón ahora que P es un punto fuera del círculo y necesitas dibujar la tangente que pasa a través de él.

Paso 1

Únete al segmento PO.

Tangent to a circle from an outside point step 1Tangent to a circle from an outside point step 1Tangent to a circle from an outside point step 1

Paso 2

Bisecta PO en el punto A.

Tangent to a circle from an outside point step 2Tangent to a circle from an outside point step 2Tangent to a circle from an outside point step 2

Paso 3

Con la punta seca en A y la apertura establecida en AO, corta el círculo en los puntos B y C.

Tangent to a circle from an outside point step 3Tangent to a circle from an outside point step 3Tangent to a circle from an outside point step 3

Paso 4

PB y PC son dos posibles tangentes desde el punto P.

Tangent to a circle from an outside point step 4Tangent to a circle from an outside point step 4Tangent to a circle from an outside point step 4

Paralelo (A Través de un Punto Dado)

Las líneas paralelas son líneas que nunca se tocan, así que viajan en exactamente la misma dirección. Si tu escuela fue algo parecida a la mía, te enseñaron un vago atajo para dibujarlos, pero siempre terminaba apoyándome en la cuadrícula dentro del libro de copia. Esto, sin embargo, ¡es la manera propia y correcta de obtener verdaderas paralelas!

Empecemos con una línea dada y supongamos que tenemos un punto exterior P a través del cual necesita pasar la paralela.

Paso 1

Con P como el centro, dibuja cualquier arco para que corte la línea en A.

Parallel through a given point step 1Parallel through a given point step 1Parallel through a given point step 1

Paso 2

Con la misma apertura del compás, pon el punto en A y marca el punto B.

Parallel through a given point step 2Parallel through a given point step 2Parallel through a given point step 2

Paso 3

Ahora coloca el punto en B para dibujar un arco que pase a través de A, y corte el primer arco en C.

Parallel through a given point step 3Parallel through a given point step 3Parallel through a given point step 3

Paso 4

La línea PC es tu paralela.

Parallel through a given point step 4Parallel through a given point step 4Parallel through a given point step 4

Paralelas (a una Distancia Dada)

Ligeramente más difícil es dibujar una paralela a una distancia específica de la línea original.

Paso 1

Empieza por hacer dos pares de puntos en la línea. Las distancias no son específicas, pero mientras más lejos los pares estén uno del otro, más exacto será el resultado.

Parallels at a given distance step 1Parallels at a given distance step 1Parallels at a given distance step 1

Paso 2

Encuentra el bisector para cada par de puntos.

Parallels at a given distance step 2Parallels at a given distance step 2Parallels at a given distance step 2

Paso 3

Abre tu compás a la distancia deseada y marca esa distancia en cada uno de los dos bisectores.

Parallels at a given distance step 3Parallels at a given distance step 3Parallels at a given distance step 3

Paso 4

Únete.

Parallels at a given distance step 4Parallels at a given distance step 4Parallels at a given distance step 4

Dividiendo un Segmento

Terminaremos esta primera lección con un método bastante hábil para dividir un segmento en un número de partes iguales. Esto es útil por supuesto si no tienes una regla con marcas a mano, pero incluso una regla no es de ayuda si tienes un segmento que mide 5.63 centímetros el cual necesitas dividir en siete secciones. Este método es completamente exacto y te evitará cálculos extraños.

En el siguiente ejemplo, querremos cortar un segmento AB en siete.

Dividing a segment step 1Dividing a segment step 1Dividing a segment step 1

Paso 1

Dibuja dos arcos con el punto en A y en B respectivamente. Su radio no importa mientras intersepten.

Dividing a segment step 2Dividing a segment step 2Dividing a segment step 2

Paso 2

Únete a A con una de las intersecciones y B con la otra. Estos resultados en dos líneas paralelas.

Dividing a segment step 3Dividing a segment step 3Dividing a segment step 3

Paso 3

Lo que haremos es que marcaremos puntos espaciados de forma equilibrada en cada paralela, usando el compás. La apertura no importa pero mantenla pequeña para que todos los puntos quepan en la línea. Su número es (número de las porciones del segmento menos 1), el cual es el caso para nuestro ejemplo, es 7-1 = 6 puntos. Aquí está el primer punto marcado desde A.

Dividing a segment step 4Dividing a segment step 4Dividing a segment step 4

Paso 4

Mueve el punto de compás al punto marcado, y marca otro, después repite hasta que los seis puntos estén marcados, después haz lo mismo empezando por B.

Dividing a segment step 5Dividing a segment step 5Dividing a segment step 5

Paso 5

Conecta los puntos, y las líneas cortarán el segmento en siete partes iguales.

Dividing a segment step 6Dividing a segment step 6Dividing a segment step 6

Así que, hemos dado nuestros primeros pasos dentro de la geometría como arte, con operaciones básicas que serán de utilidad en futuras lecciones o en tus propias exploraciones. La próxima vez profundizaremos más en las formas actuales y patrones, trabajando con los números 4 y 8...

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