Geometrisches Design: Die Grundlagen

German (Deutsch) translation by Valentina (you can also view the original English article)

Final product image — What You'll Be Creating

In früheren Zivilisationen waren Wissenschaft (insbesondere Mathematik), Religion und Kunst nicht getrennt. Wir haben nicht einmal ein Wort für das weite und fließende Feld, das sie zusammen bildeten, aber wir können ein Gefühl dafür bekommen, wenn wir eines der vielen erstaunlichen Werke der geometrischen Kunst betrachten, die bis heute überlebt haben und normalerweise Teil eines heilige Struktur.

Rose window in Notre Dame cathedral — Die nördliche Rosette in der Kathedrale Notre Dame, Paris.

Geometrie ist nichts anderes als sichtbar gemachte Zahlen. Tatsächlich ist es die allererste Manifestation von Zahlen, lange bevor die Kürzel 1,2,3 für sie geschaffen wurden. Frühe Geometer verstanden die Beziehungen zwischen Zahlen, indem sie die Art und Weise betrachteten, wie geometrische Formen zueinander in Beziehung standen. Die zweidimensionale, abstrakte Natur der Geometrie wurde als einen Schritt näher am nulldimensionalen, unerkennbaren Göttlichen verstanden als unsere physische Welt, und ihre Schönheit war buchstäblich nicht von dieser Welt.

Tessellated pattern in the Alhambra — Mosaikmuster in der Alhambra, Spanien. Foto von Gruban.

Die Faszination für Geometrie und mathematische Muster taucht heute wieder auf: Wir sehen sie in der wachsenden Popularität der fraktalen Kunst. Es bedarf jedoch keiner speziellen Software, um hochkomplexe geometrische Muster zu erstellen, und es ist zutiefst befriedigend, sogar meditativ, sie langsam aus dem weißen Nichts eines Blattes Papier zu ziehen, wie wir es in diese Tutorials.

Wir beginnen mit den Bausteinen der Geometrie und beherrschen in den ersten Stunden einfache Konstruktionen. Dann werden wir zu Mustern und komplizierteren Konstruktionen übergehen, und die letzten paar Lektionen werden wirklich komplexe, aber lohnende Werke der Geometrie behandeln.

Terminologie

Lassen Sie uns zunächst einige Begriffe definieren, die in diesen Lektionen regelmäßig auftauchen werden. Sie kennen wahrscheinlich schon einige davon.

Ein Kreis ist die einfachste geometrische Form, eine geschlossene Kurve, bei der alle Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben.
Ein Durchmesser ist eine Linie, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch den Mittelpunkt geht.
Ein Radius ist jede Linie, die den Mittelpunkt eines Kreises mit seinem Umfang verbindet (praktisch gesehen ist dies unsere Kompassöffnung beim Zeichnen eines Kreises).
Ein Akkord ist eine Linie, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, ohne durch den Mittelpunkt zu gehen.
Ein Halbkreis ist genau ein Halbkreis.
Ein Bogen ist ein Kreissegment, das kein Halbkreis ist.
Eine Tangente ist eine Linie, die nur einen Kreis in einem einzelnen Punkt berührt.

Ein spitzer Winkel ist kleiner als 90º.
Ein rechter Winkel ist genau 90º, und das kleine Quadrat, das darin markiert ist, ist die herkömmliche Art, einen rechten Winkel in einem Diagramm anzuzeigen.
Ein stumpfer Winkel ist größer als 90º.
Ein Dreieck ist jede geschlossene Form mit drei geraden Seiten. Ein zufälliges Dreieck wird im Gegensatz zu den nächsten drei auch als skalenförmiges Dreieck bezeichnet. Die Summe der Winkel in jedem Dreieck beträgt immer 180º.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel. Die anderen beiden Winkel müssen nicht gleich sein und die Seiten variieren.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Seiten (gleiche Längen sind in einem Diagramm durch Striche gekennzeichnet).
Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleiche Seiten und seine drei Winkel sind ebenfalls gleich (60º).

Ein Viereck ist jede geschlossene Form mit vier geraden Seiten. Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt immer 360º.
Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Notwendigerweise sind die beiden einander gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang.
Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich sind.
Eine Raute hat auch vier gleiche Seiten, wobei die beiden gegenüberliegenden parallel, aber keine rechten Winkel sind.
Die nächsten acht Formen sind Polygone (geschlossene Formen mit mehr als vier Seiten) mit fünf, sechs und bis zu 12 Seiten. Alle ihre Seiten und Winkel sind gleich.

Werkzeuge

Geometrie wurde ursprünglich mit nichts als einem Seil und Stiften geübt, daher sind beim Arbeiten auf Papier wirklich keine ausgefallenen Werkzeuge, sondern nur genaue Werkzeuge erforderlich. Sie brauchen nur drei Dinge: einen Bleistift, ein Lineal und einen Zirkel.

Bleistifte

Ein einfacher Bleistift ist für die Arbeit vollkommen ausreichend, aber greifen Sie nicht nur zu dem ersten, den Sie finden: Er muss die richtige Härte haben. Im Bild unten sehen Sie das Label HB auf dem orangefarbenen Stift und 6H auf dem grauen. Dies sind Indikatoren für die Härte. B zeigt eine weiche Leitung an, und je höher die Zahl (4B, 5B), desto weicher.

Eine weiche Mine hinterlässt einen dunkleren Fleck, der das Papier nicht zerkratzt, aber leicht verschmiert. H weist auf eine harte Mine hin, ähnlich abgestuft, die nur eine leichte Markierung hinterlässt und nicht verschmiert, aber das Papier einkerbt, wenn sie zu stark gedrückt wird. HB ist offensichtlich eine glückliche Mitte.

Wenn Sie geometrische Muster konstruieren, möchten Sie keine weichen Bleistifte! Der Grund dafür ist, dass dunkle Konstruktionslinien schnell unübersichtlich werden und ein Verschmieren unvermeidlich ist. Auch weiche Minen verlieren sehr schnell an Schärfe, was entweder zu einer konstanten Schärfe oder einem Verlust an Genauigkeit beim Zeichnen führt.

Stattdessen möchten wir die Zeichnung mit leichten Konstruktionslinien aufbauen und mit einem weicheren Bleistift die letzten Linien der Muster auswählen. Dafür sind diese beiden Bleistifte da: Der 6H bleibt lange scharf und macht einen sehr leichten Strich, über den die letzten Striche des HB wirklich auffallen.

Bei sehr komplizierten Mustern kann eine Zwischenhelligkeit der Linie dazwischen hinzugefügt werden, zum Beispiel 3H oder 2H. Es ist jedoch wichtig, leicht mit H-Bleistiften zeichnen zu lernen, denn sie ritzen das Papier und das ist eine Markierung, die nicht ausgewischt werden kann. Wenn das Bleistiftzeichnen abgeschlossen ist, kann das Muster entweder eingefärbt und der Bleistift dann ausradiert oder bemalt werden, um den Bleistift zu bedecken, oder auf Wunsch mit Pauspapier auf ein völlig sauberes Blatt Papier übertragen werden.

Der Vorteil traditioneller Bleistifte ist ihre Erschwinglichkeit, der Nachteil ist jedoch, wie oft sie gespitzt werden müssen und wie sie sich auf die Umwelt auswirken. Eine Alternative, die ich persönlich bevorzuge, ist ein guter 2 mm Druckbleistift (auch Fallbleistift oder Minenhalter), wie der unten abgebildete, mit einem speziellen Anspitzer und Minenboxen. Sie können nur einen solchen Bleistift haben und die Minen nach Bedarf austauschen. Vermeiden Sie solche mit dünneren Minen, wie z. B. 0,5 mm, da sie nicht zu einer echten Spitze geschärft werden können (0,5 mm ist für unsere Zwecke ziemlich stumpf!) und weil Sie keine Wahl zwischen Härte oder Weichheit haben.

Gerade Kante oder Lineal

Streng genommen werden Messungen in der Geometrie nie verwendet, da sie nicht so genau sind wie richtige Konstruktionen, und wir werden sie in diesem Kurs niemals verwenden. Um eine gerade Kante ohne Messmarkierungen zu finden, müssten wir uns jedoch sehr viel Mühe geben, also können wir uns genauso gut ein gutes Lineal aussuchen.

Bei Präzisionswerkzeugen können Sie mit Marken, die auf Architekten ausgerichtet sind, nichts falsch machen, und jeder Kunstladen wird mindestens eine davon haben. Sie fragen sich vielleicht, ob ein Lineal nicht gut genug wäre? Nun, nein: Markierungen sind vielleicht nicht so wichtig, aber Geradlinigkeit ist sehr wichtig!

So testen Sie die gerade Kante eines Lineals: Zeichnen Sie eine Linie entlang der Kante des Lineals, drehen Sie dann das Lineal um und zeichnen Sie eine Linie über dem ersten entlang derselben Kante. Ich habe dies unten mit einem zuverlässigen Lineal getestet, das ich seit 1997 verwende:

Schauen wir uns das genauer an: Sehen wir, dass die Linie immer noch definitiv eine einzige Linie ist? Dies bedeutet, dass die Kante perfekt gerade ist.

Als nächstes habe ich es mit einer Metallkante getestet, und Sie werden sehen, warum solche Kanten zum Schneiden in Ordnung sind, aber niemals für Präzisionsarbeiten verwendet werden sollten.

Sehen Sie in der Nahaufnahme oben, wie sich die Linie nach rechts teilt? Wenn das gesamte Bild auf diesen Bildschirm passen könnte, würden Sie sehen, dass die beiden Linien, obwohl sie entlang derselben Kante gezeichnet werden, einen schmalen Raum einschließen, was darauf hindeutet, dass die Kante leicht gekrümmt ist. Genau das wollen wir vermeiden!

Kompass

Unser interessantestes und wichtigstes Werkzeug ist auch das teuerste, aber ein guter Kompass ist Gold wert und hält ein Leben lang. Es ist natürlich immer in Ordnung, einen billigeren Schulkompass zum Lernen zu verwenden und aufzurüsten, wenn Sie zu ernsthafter Arbeit übergehen (oder wenn Sie wegen des Mangels an Präzision zu frustriert sind).

Ein Zirkel hat grundsätzlich zwei Beine, die durch ein Scharnier verbunden sind: Ein Bein endet in einer Nadelspitze, das andere in einer Bleistiftspitze. Das Bleistiftbein kann verstellt werden, um verschiedene Öffnungen zu erhalten, und gedreht werden, während die Nadelspitze fest auf dem Papier gehalten wird, wodurch ein Kreis entsteht. Es ist durchaus möglich, komplexe geometrische Figuren nur mit einem Zirkel zu erstellen, die die vor langer Zeit in der Architektur verwendeten Seil-und-Knäuel-Methoden nachbilden.

Worauf Sie bei einem Kompass achten sollten

Ein Schraubmechanismus zum Ändern der Zirkelöffnung (oder zumindest eine Schraube zum Festziehen des Scharniers, damit es nach dem Einstellen der gewünschten Öffnung an Ort und Stelle bleibt). Sie möchten keinen Kompass, der sich leicht öffnet und schließt, da sich die Öffnung während der Arbeit unweigerlich ändert.
Ein austauschbares Bleistiftende. Das Ende des rechten Zirkelarms oben kann abgenommen und durch das kleine Gadget rechts ersetzt werden, in das jedes Zeichenwerkzeug eingesetzt werden kann: Bleistift, Kugelschreiber, Lineal oder sogar Pinsel. Dies ist unglaublich nützlich, da die Alternative darin besteht, die Linien freihändig einzufärben oder zu färben, was die Perfektion der Kurve gefährdet.
Ein Verlängerungsarm: Dies ist das längere Zubehör an der Unterseite. Damit lassen sich viel größere Kreise zeichnen. Dieser Kompass schafft zum Beispiel einen Kreis mit einem Radius von etwa 25 cm, der Ausleger streckt diesen aber auf 35 cm.

Einige Kompasse haben keine Mine wie dieser, sondern sind so konzipiert, dass sie mit einem Bleistift ausgestattet werden. Das ist in Ordnung: Es ist dann eine Frage der persönlichen Präferenz, vorbehaltlich der gleichen Vor- und Nachteile, die ich beim Vergleich von herkömmlichen Bleistiften mit Druckbleistiften erläutert habe.

Tipps zur Verwendung eines Kompass

Bedecken Sie Ihre Arbeitsfläche mit einem großen Stück Karton oder Passepartout (mindestens in der Größe Ihres Papiers), um sie sowohl vor der Nadelspitze zu schützen, als auch damit die Spitze ausreichend eindringen kann, um an ihrem Platz zu bleiben. Andernfalls kann es sehr frustrierend werden, da es immer wieder herausrutscht.
Platzieren Sie die Nadel oder den Trockenpunkt mit großer Präzision dort, wo Sie sie haben möchten, und halten Sie dann den Griff (oben) zwischen Daumen und Zeigefinger, um ihn zu drehen und einen Kreis zu erzeugen. Auf diese Weise einen schönen, gleichmäßigen Kreis zu bekommen, kann zunächst etwas Übung erfordern – das ist normal. Versuchen Sie, den Kompass beim Zeichnen einigermaßen aufrecht zu halten. Halten Sie den Kompass niemals mit einem Bein in jeder Hand, da dies die Öffnung verändert.
Ich muss dies betonen: Achten Sie darauf, die Nadelspitze genau zu platzieren und das Bleistiftende scharf zu halten. Der Grund, warum manche Leute gut in Geometrie sind und andere nicht, liegt an der Präzision.

Grundkonstruktionen

Das ist genug Theorie, fangen wir an zu zeichnen! Stellen Sie Ihre Werkzeuge und etwas Patronenpapier zusammen und legen Sie los.

Diagramme Legende

In den Konstruktionsdiagrammen verwende ich während des gesamten Kurses die folgenden Arten und Farben von Linien. Hier ist, was sie bedeuten:

Dreieck (auf einer bestimmten Seite)

So gehen Sie vor, wenn Sie von einem Liniensegment ausgehen, also bereits eine der Seiten des Dreiecks haben.

Schritt 1

Trockenpunkt auf A, zeichne einen Bogen von B.

Schritt 2

Trockener Punkt auf B, zeichne einen Bogen von A, um den dritten Punkt C zu finden.

Schritt 3

Verbinden. Wenn Ihre Kompassöffnung größer oder kleiner als AB ist, ist das Dreieck gleichschenklig.

Dreieck (in einem Kreis)

Wenn Sie einen bestimmten Kreis haben und ein gleichseitiges Dreieck darin einschreiben müssen (d. h. seine drei Punkte befinden sich auf dem Kreis), gehen Sie wie folgt vor:

Schritt 1

Zeichnen Sie eine Linie durch die Mitte und schneiden Sie den Kreis bei A und B.

Schritt 2

Zeichnen Sie mit derselben Zirkelöffnung einen Bogen, der den Kreis an den Punkten C und D schneidet.

Schritt 3

Schließen Sie sich BCD an.

Senkrechte Winkelhalbierende

Dieser technisch klingende Begriff bezieht sich auf eine Linie, die zwei Dinge bewirkt: Sie teilt ein Segment (oder einen Winkel) in zwei gleiche Längen (oder Winkel) und sie steht im rechten Winkel zu dem Segment, das sie teilt. Dies ist ein ziemlich wichtiges Gerät und wird häufig beim Konstruieren anderer Figuren verwendet.

Schritt 1

Zeichnen Sie mit dem Punkt auf A und der Kompassöffnung gleich AB einen Bogen.

Schritt 2

Wiederholen Sie dies mit dem Punkt auf B. Die beiden Bögen schneiden sich oben und unten.

Schritt 3

Verbinde die beiden Schnittpunkte. Das Segment ist jetzt halbiert und O ist der Mittelpunkt zwischen A und B.

Tangente durch einen Punkt auf einem Kreis

Wenn Sie einen bestimmten Punkt (P) auf einem Kreis haben und die Tangente durch diesen bestimmten Punkt ziehen müssen:

Schritt 1

Beginnen Sie mit dem Zeichnen des Durchmessers, der durch P und den Mittelpunkt O geht, und schneidet den Kreis an einem anderen Punkt A.

Tangent through a point on a circle step 1

Schritt 2

Stellen Sie Ihre Kompassöffnung auf die Entfernung AP ein, platzieren Sie den Punkt auf O und zeichnen Sie einen großen Bogen, fast einen Halbkreis. Es schneidet die Linie AP bei B.

Tangent through a point on a circle step 2

Schritt 3

Setzen Sie den Punkt auf B und schneiden Sie den Bogen bei C und D, ohne die Zirkelöffnung zu ändern.

Tangent through a point on a circle step 3

Schritt 4

Die Linie CD ist Ihre Tangente an P.

Tangent through a point on a circle step 4

Tangential zu einem Kreis von einem äußeren Punkt aus

Angenommen, P ist ein Punkt außerhalb des Kreises und Sie müssen die Tangente zeichnen, die durch ihn geht:

Schritt 1

Verbinden Sie das Segment PO.

Tangent to a circle from an outside point step 1

Schritt 2

PO an Punkt A halbieren.

Tangent to a circle from an outside point step 2

Schritt 3

Mit dem Trockenpunkt auf A und der Öffnung auf AO, schneiden Sie den Kreis an den Punkten B und C.

Tangent to a circle from an outside point step 3

Schritt 4

PB und PC sind die beiden möglichen Tangenten von Punkt P.

Tangent to a circle from an outside point step 4

Parallel (durch einen bestimmten Punkt)

Parallele Linien sind Linien, die sich nie berühren, also verlaufen sie in genau die gleiche Richtung. Wenn Ihre Ausbildung so war wie meine, wurde Ihnen eine vage Abkürzung zum Zeichnen beigebracht, aber am Ende verließen Sie sich immer nur auf das Raster, das in Ihrem Heft gedruckt ist. Dies ist jedoch der richtige und richtige Weg, um echte Parallelen zu erhalten!

Beginnen wir mit einer gegebenen Geraden und nehmen an, dass wir einen äußeren Punkt P haben, durch den die Parallele verlaufen muss.

Schritt 1

Zeichnen Sie mit P als Mittelpunkt einen beliebigen Bogen, um die Linie bei A zu schneiden.

Schritt 2

Setzen Sie bei gleicher Zirkelöffnung den Punkt auf A und markieren Sie Punkt B.

Schritt 3

Platzieren Sie nun den Punkt auf B, um einen Bogen zu zeichnen, der durch A geht und den ersten Bogen bei C schneidet.

Schritt 4

Der Line-PC ist Ihre Parallele.

Parallelen (in einer bestimmten Entfernung)

Etwas schwieriger ist es, eine Parallele in einem bestimmten Abstand von der ursprünglichen Linie zu zeichnen.

Schritt 1

Beginnen Sie, indem Sie zwei Punktepaare auf der Linie markieren. Entfernungen sind nicht spezifisch, aber je weiter die Paare voneinander entfernt sind, desto genauer ist das Ergebnis.

Schritt 2

Finden Sie die Winkelhalbierende für jedes Punktpaar.

Schritt 3

Öffnen Sie Ihren Kompass bis zur gewünschten Entfernung und markieren Sie diese Entfernung auf jeder der beiden Winkelhalbierenden.

Schritt 4

Verbinden.

Teilen eines Segments

Wir beenden diese erste Lektion mit einer sehr raffinierten Methode, um ein Segment in mehrere gleiche Teile zu unterteilen. Dies ist natürlich sinnvoll, wenn Sie kein Lineal mit Markierungen zur Hand haben, aber auch ein Lineal hilft nicht weiter, wenn Sie ein Segment von 5,63 cm haben, das Sie in sieben Abschnitte unterteilen müssen. Diese Methode ist absolut genau und erspart Ihnen umständliche Berechnungen.

Im folgenden Beispiel wollen wir ein Segment AB in sieben zerlegen.

Dividing a segment step 1

Schritt 1

Zeichnen Sie zwei Bögen mit dem Punkt auf A bzw. B. Ihr Radius spielt keine Rolle, solange sie sich kreuzen.

Schritt 2

Verbinden Sie A mit einer der Kreuzungen und B mit der anderen. Dadurch entstehen zwei parallele Linien.

Schritt 3

Was wir jetzt tun werden, ist mit dem Kompass gleichmäßig verteilte Punkte auf jeder Parallele zu markieren. Die Öffnung spielt keine Rolle, aber halte sie klein, damit alle Punkte auf die Linie passen. Ihre Anzahl ist [Anzahl der Segmentteile minus 1], was in unserem Beispiel 7–1 = 6 Punkte beträgt. Hier ist der erste Punkt ab A markiert.

Schritt 4

Bewegen Sie den Kompasspunkt zu dem gerade markierten Punkt und markieren Sie einen anderen, dann wiederholen Sie den Vorgang, bis sechs Punkte markiert sind, und machen Sie dann dasselbe, beginnend mit B.

Schritt 5

Verbinden Sie die Punkte und die Linien schneiden das Segment in sieben gleiche Teile.

Wir haben also unsere ersten Schritte in die Geometrie als Kunst unternommen, mit grundlegenden Operationen, die sich in zukünftigen Lektionen oder bei Ihren eigenen Erkundungen als nützlich erweisen werden. Das nächste Mal werden wir direkt in die tatsächlichen Formen und Muster springen und mit den Zahlen 4 und 8 arbeiten ...