Russian (Pусский) translation by Sergey Zhuk (you can also view the original English article)
Мы уже широко использовали круги для создания различных сеток для нескольких шаблонов. В этом уроке мы используем круги ради них, а именно в двух типах конструкций: спирали и вписанные круги.
Спирали
Спирали бывают разных типов. Расстояние между поворотами и углом поворота определяет их внешний вид. Некоторые могут быть определены с помощью математического уравнения, которое переводит для конкретных спиралей в простые геометрические конструкции - приблизительные, но достаточно хорошие для глаза.
Обычная или архимедова спираль
Эта спираль определяется равным расстоянием между струнами, так что она имеет концентрический внешний вид. Она рисуется перемещением точки циркуля из одной точки в другую в базовой фигуре, которая может быть сегментом (двумя точками), треугольником, квадратом и т.д. Чем больше точек, тем плотнее и совершеннее спираль, но поскольку это также делает конструкцию более утомительной, шестиугольник является самым высоким, как правило.
Спираль, построенная по двум точкам
Шаг 1
На горизонтальной линии нарисуйте полукруг, маленький насколько это возможно. Это первый поворот спирали, и две точки, где он пересекает линию, являются точками построения.
Шаг 2
Поместите циркуль в одну из точек, откройте его, чтобы встретить другого, и нарисуйте полукруг на другой стороне линии. Две полуокружности образуют непрерывную кривую.
Шаг 3
Переместите циркуль назад к первой точке, откройте его, чтобы встретить конец кривой, и нарисуйте еще один полукруг.
Шаг 4
Продолжайте в этом ключе, перемещая циркуль из одной из точек построения в другую и каждый раз настраивая открытие, чтобы взять кривые, где вы остановились.
Продолжайте сколько угодно. Спираль будет выглядеть так:
Спираль, построенная на трех точках
Метод тот же, но мы начинаем с равностороннего треугольника, стороны которого расширены. Циркуль будет перемещаться из пункта 1 в 2 в 3, затем обратно в 1 и так далее. Если стороны вытянуты, как показано здесь, спираль поворачивается по часовой стрелке (и циркуль перемещается от точки к точке по часовой стрелке).
Шаг 1
Нарисуйте первую дугу.
Шаг 2
Переместитесь к следующей точке, отрегулируйте отверстие и нарисуйте следующую дугу.
Шаг 3
Переместитесь в третью точку и повторите.
После нескольких поворотов спираль выглядит так:
Спираль, построенная на четырех точках
Наша база теперь квадратная, и мы по-прежнему работаем по часовой стрелке. По мере того, как угол поворота уменьшается (сначала он составлял 180º для каждого, затем 120º, теперь для 90º), спираль становится более гладкой.
Шаг 1
Нарисуйте первый четверть круга.
Шаг 2
Перейдите ко второй точке, отрегулируйте раскрытие циркуля и нарисуйте следующий четверть круга.
Шаг 3
Повторите с третьей и четвертой точками.
Шаг 4
Как выглядит спираль за несколькими оборотами:
Спираль, построенная на шести точках
С шестиугольником в качестве основания, конструкция действительно такая же. Важнейшей составляющей является очень точное рисование оснований и расширение их сторон. Затем просто пробегите шесть пунктов:
Спираль через несколько оборотов:
Когда эти спирали располагаются бок о бок, мы можем оценить, насколько они более плавные и идеально круговые, когда база имеет большее количество точек.
Золотая спираль
В отличие от регулярных спиралей выше, расстояние между последовательными поворотами в логарифмических спиралях растет в геометрической последовательности. Такие спирали, обнаруженные в росте многих организмов, являются автомодельными: размер спирали увеличивается, но ее форма не изменяется (для этого ее также называли спира мирабилис, «чудо-спираль»). Золотая спираль - это тип логарифмической спирали с фактором роста, связанным с Золотым числом.
Самый простой способ нарисовать такую спираль - начать с ее внешних границ, в отличие от предыдущей. Поэтому мы начнем с построения золотого прямоугольника (я объясню, что это такое, когда это сделано).
Шаг 1
Построить квадрат. (Забыл как? См. Раздел Работа с 4 и 8.)
Шаг 2
Растяните стороны AB и DC.
Шаг 3
С точкой на E и циркулем, открытым для EC, нарисуйте дугу, которая разрезает расширенный AB на G.
Шаг 4
Переместите черновую точку на F и нарисуйте дугу, которая разрезает расширенный CD на H.
Шаг 5
Соедините к GH, чтобы закончить прямоугольник.
Это называется золотым прямоугольником, потому что AB/AG = BG/AB, другими словами отношение длинной стороны ко всему сегменту такое же, как отношение более короткой стороны к более длинной.
Бумага формата A4 (или любой другой размер в серии A) является золотым прямоугольником, поэтому вы можете использовать его общую поверхность в качестве внешнего прямоугольника и перейти сразу к шагу 6.
Шаг 6.
Теперь нам нужно разбить этот прямоугольник на квадраты. У нас уже есть первый квадрат. Следующий будет выведен из прямоугольника BGHC.
Поместите черновую точку на B и откройте ее на длину короткого сегмента. Отметьте I в BC.
Переместите черновую точку в G и отметьте J на GH.
Шаг 7.
Соедините IJ: теперь у нас есть квадрат BGJI, и новый прямоугольник остался.
Шаг 8
Повторите эту операцию в каждом последующем прямоугольнике, всегда создавая квадрат относительно внешнего края прямоугольника.
Когда у нас будет достаточно квадратов или они станут слишком маленькими для работы, мы можем нарисовать спираль.
Шаг 9
Поместите черновую точку на C, пусть отверстие будет равняться стороне первого квадрата, и нарисуйте четверть окружности DB.
Шаг 10
Переместите черновую точку на I, уменьшите отверстие в сторону второго квадрата и нарисуйте дугу BJ.
И так далее по всем квадратам ...
Чувство этой спирали сильно отличается от концентрического и даже статического появления регулярных спиралей: оно гораздо менее сложенное, с динамическим движением.
Вписанные круги
Круги могут быть вписаны, то есть втянуты внутрь фигуры таким образом, чтобы касаться ее сторон, под углами, многоугольниками или другими кругами. Это устройство является основой большей части декоративной геометрии Запада, например, в кельтском освещении или готических розовых окнах. Мы рассмотрим две базовые конструкции, которые мы можем использовать с любым многоугольником или любым количеством кругов внутри круга, а затем построить два полноценных окна с их узором.
Круг в секторе
Этот метод позволяет вам подбирать количество кругов по вашему выбору внутри круга. Начните с разделения круга равномерно на нужное количество разделов, затем для каждого сектора выполните следующее. Показанный здесь сектор состоит из круга, разделенного на шесть.
Шаг 1
Разделите сектор пополам. Биссектриса режет дугу в точке Q.
Шаг 2
Теперь нам нужно провести перпендикуляр к PQ в Q. С черновой точкой компаса на Q и любым отверстием нарисуйте дугу, которая разрезает биссектрису в точке A.
Шаг 3
Переместите сухую точку в A и нарисуйте еще одну дугу, разрезав первую на B.
Шаг 4
Соедините линию AB и немного растяните ее.
Шаг 5
При том же открытии циркуля и точке на B отметьте точку C.
Шаг 6.
CQ - перпендикуляр к PQ.
Шаг 7.
Расширьте одну сторону сектора, чтобы разрезать CQ в точке E.
Шаг 8
Распределите пополам угол QEP.
Эта биссектриса разрезает QP в точке O.
Шаг 9
Point O - центр круга, вписанного в этот сектор. Теперь круг можно нарисовать, с точкой циркуля на O и открытием, установленным на OQ.
Вот некоторые возможности, в зависимости от количества секторов, в которые был разбит круг. Обратите внимание: круги, которые касаются, дуги между их точками контакта могут быть опущены для создания розетки.
Круг в воздушном змее
Этот метод должен соответствовать числу кругов в полигоне, равному числу сторон этого многоугольника (три круга в треугольнике, пять в пятиугольнике, четыре или восемь в восьмиугольнике ...).
Сначала соедините центр каждой стороны с центром многоугольника, разделив полигон на змеи, а затем выполните следующие действия для каждого змея.
Шаг 1
Bisect ACB. Эта биссектриса разрезает AB на O.
O - центр нашей вписанной окружности, но чтобы точно определить радиус круга, нам нужно найти точку F на AD так, чтобы OF перпендикулярно AD. Это цель остальных шагов:
Шаг 2
Когда черновая точка на A и циркуль открыты для AO, нарисуйте дугу.
Шаг 3
Переместите черновую точку в D и повторите, чтобы найти точку E.
Шаг 4
Соедините к OE, чтобы разрезать AD на F.
Шаг 5
Вписанная окружность теперь может быть нарисована с центром O и радиусом OF.
Как и в предыдущей конструкции, разные полигоны приведут к разным формам, а внутренние дуги могут быть стерты для создания розетки.
Окно Трискеле (три круга)
Такие церковные окна, выдающие кельтское влияние, могут быть замечены во многих местах вокруг Британских островов.
Шаг 1
Начните с круга. Разделите его на шесть и нарисуйте диаметры.
Шаг 2
Соедините три из этих точек, чтобы создать равносторонний треугольник.
Шаг 3
С открытием циркуля ниже нарисуйте круг, вписанный в треугольник.
Шаг 4
Нарисуйте еще один треугольник, вписанный в этот круг.
Шаг 5
С раскрытием компаса ниже, нарисуйте три окружности, центрированные в точках треугольника.
Шаг 6.
С раскрытием циркуля ниже нарисуйте круг, в который вписаны три меньших.
Если вам просто нужен линейный рендеринг, вы можете остановиться здесь и покрасить следующие дуги:
Чтобы нарисовать узор окна, то есть дать этим линиям их собственную толщину и детализировать (где «линия», являющаяся оконной рамкой, имеет собственную толщину и детали), продолжайте ...
Шаг 7.
Поместите черновую точку, где находится одно из пересечений диаметра с последним кругом, который мы нарисовали, и установите отверстие на разницу между двумя большими кругами. Нарисуйте небольшой круг.
Шаг 8
Верните сухую точку в исходный центр и откройте ее, как показано. Нарисуйте третий, самый внутренний большой круг.
Шаг 9
Теперь для каждого из трех кругов нарисуйте внутренний круг, используя отверстие, показанное ниже.
Шаг 10
Теперь измените отверстие, как показано, и для каждого из трех, нарисуйте эту дугу:
Шаг 11
Теперь вы можете чертить два внешних круга ...
... тогда внутренние капли ...
... и, наконец, центральные линии трискеле.
Окно Розетки (Восемь Кругов)
Это окно с западного фасада Шартрского собора и старейшее в здании.
Шаг 1
Начните с большого круга. Разделите его на восемь, выполнив шаги для рисования квадрата (нет необходимости рисовать сам квадрат, потому что нам нужны только его диагонали).
Шаг 2
Разделите половину секторов пополам, чтобы разделить круг на 16.
В настоящее время существует восемь диаметров. Число пунктов для ясности.
Шаг 3
Соедините точки с четными номерами, чтобы создать статический восьмиугольник.
Шаг 4
Стороны восьмиугольника разрезали диаметры в восьми точках. Соедините их, чтобы создать вписанный динамический восьмиугольник.
Шаг 5
Теперь нарисуйте еще один статический восьмиугольник, вписанный в предыдущий.
Шаг 6.
Теперь, возвращаясь к пронумерованным точкам, соедините следующие пары: 2-8 и 10-16, затем 4-14 и 6-12.
Шаг 7.
Соедините 2-12 и 4-10, и, наконец, 6-16 и 8-14.
Обратите внимание на следующие места, где пересекаются три линии: это центры восьми кругов, образующих розетку.
Шаг 8
С открытием циркуля ниже нарисуйте круг, центрированный по каждой из этих точек.
Покажите дуги, показанные здесь.
Шаг 9
Измените открытие циркуля, как показано здесь, и повторите. Нет необходимости рисовать полные круги - вы можете остановить дуги, где они соответствуют диаметру, и закрасить их таким образом.
Шаг 10
Измените отверстие циркуля еще раз и повторите, снова останавливаясь на диаметре.
Шаг 11
Соедините открытые концы дуг.
Шаг 12.
Чертим линии между дугами; Они являются частями диаметров.
Шаг 13.
С последней настройкой циркуля, нарисуйте и закрасьте круг ниже.
Шаг 14.
Наконец, чертим на внешнем круге.
В этой главе о кругах мы закончили основную часть этих уроков по геометрическим проектам. Со следующего месяца мы сосредоточимся на полных моделях и мотивах все более сложной с Востока и Запада.
By
