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Design Geométrico: Noções Básicas

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This post is part of a series called Geometric Design for Beginners.
Geometric Design: Working With 4 and 8

Portuguese (Português) translation by Ingrid Fornazari (you can also view the original English article)

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What You'll Be Creating

Nas primeiras civilizações, ciência (matemática em particular), religião e arte não eram separadas. Nós nem temos uma palavra para o campo amplo e fluído que elas formavam juntas, mas nós podemos ter uma sensação dele olhando para qualquer um dos muitos dos trabalhos espantosos de arte geométrica que sobreviveram até agora, e são normalmente parte de estruturas sagradas.

Rose window in Notre Dame cathedralRose window in Notre Dame cathedralRose window in Notre Dame cathedral
A janela da rosa norte na catedral de Notre Dame em Paris.

A geometria nada mais é do que números que se tornam visíveis. De fato é a primeira manifestação dos números, bem antes dos símbolos abreviados - 1,2,3 - que nós criamos para eles. Os primeiro geômetras entendia a relação entre os números olhando a maneira como as formas geométricas se relacionam umas com as outras, e como números são profundamente significativos, os padrões que emergem deles também são carregados de significado. A natureza da geometria, abstrata, bidimensional foi entendida como sendo uma passo mais perto do zero dimensional, o incognoscível Divino do que nosso mundo físico, e sua beleza foi quase literalmente fora desse mundo.

Tessellated pattern in the AlhambraTessellated pattern in the AlhambraTessellated pattern in the Alhambra
Padrão mosaico em Alhambra, Espanha. .Foto por Gruban.

A fascinação com padrões geométricos e matemáticos está ressurgindo hoje: nós podemos ver o crescimento da popularidade da arte fractal. Não há necessidade entretanto, de um software special para criar designs geométricos altamente complexos, e é de fato profundamente satisfatório, até mesmo meditativo, desenhá-lo lentamente a partir da insignificância branca de uma folha de papel, conforme nós faremos nesses tutoriais.

Nós vamos começar construindo um bloco geométrico, dominando construções simples durante as primeiras lições. Então nós vamos prosseguir para os padrões e construções mais elaboradas. e as últimas lições vão atacar trabalhos de geometria verdadeiramente complexos, porém recompensadores.

Terminologia

Para começar, vamos definir alguns termos que aparecerão regularmente nessas lições. Você provavelmente já está familiarizado com vários deles.

Terminology 1Terminology 1Terminology 1
  • O círculo (circle) é a forma geométrica mais simples, uma curva fechada onde todos os pontos estão a mesma distância do centro.
  • O diâmetro (diameter) é qualquer linha que conecte dois pontos em um círculo e passe através do centro.
  • Raio (radius) é qualquer linha que conecte o centro de um círculo a sua circunferência (falando em termos práticos, é a abertura do nosso compasso quando desenhamos um círculo).
  • A corda (chord) é uma linha que conectas dois pontos em um círculo, sem passar através do centro.
  • Um semicírculo (semicircle) é exatamente a metade de um círculo.
  • Um arco (arc) é qualquer segmento do círculo que não seja um semicírculo.
  • Tangente (tangent) é uma linha que toca o círculo em um único ponto.
Terminology 2Terminology 2Terminology 2
  • O ângulo agudo (acute) é menor que 90°.
  • O ângulo reto (right angle) é exatamente 90°, e o pequeno quadrado marcado dentro é a maneira convencional de indicar o ângulo reto em um diagrama.
  • Um ângulo obtuso (obtuse) é maior do que 90°.
  • Um triângulo (triangle) é qualquer forma fechada com três lados retos. Um triângulo aleatório, o oposto dos próximos três, também é chamado de triângulo escaleno (scalene). A soma dos ângulos é qualquer triângulo é sempre 180°
  • Triângulo retângulo (right triangle) tem um ângulo reto. Os outros dois ângulos não tem que ser iguais, e os lados variam.
  • Um triângulo isósceles (isosceles) tem dois lados iguais (os comprimentos iguais são indicados por traços no diagrama).
  • Um triângulo equilátero (equilateral) tem três lados iguais, e seus três ângulos também são iguais (60°).
Terminology 3Terminology 3Terminology 3
  • O quadrilátero (quadrilateral) é qualquer forma fechada com quatro lados retos. A soma dos ângulos é igual a 360°.
  • Um retângulo (rectangle) é um quadrilátero com quatro ângulos retos. Necessariamente os dois lados opostos são paralelos e do mesmo comprimento.
  • Um quadrado (square) é um retângulo especializado onde todos os quatro lados são iguais.
  • Um losango (rhombus) tem quatro lados iguais, com os dois opostos sendo paralelos, mas não tem ângulos retos.
  • As próximas oito formas são polígonos (formas fehcada com mais de quatro lados com cinco, seis até 12 lados. Todos os lados e ângulos deles são iguais.

Ferramentas

Geometria foi originalmente praticada com nada mais do que uam corda e cavilhas, então não necessita de ferramentas sofisticadas, apenas ferramenta precisas quando se trabalha com papel. Você apenas precisa de três coisas,um lápis, uma borda reta e um compasso.

Lápis

Um lápis básico é perfeitamente adequado para o trabalho, mas não apenas pegue o primeiro que encontrar: ele precisa ser da dureza certa. Na figura abaixo você observará que a uma etiqueta HB no laranja e 6H no cinza. Essas são as indicações de dureza. O B indica a maciez da mina, e quanto maior o número (4B, 5B), mais macio.

Uma mina macia vai deixar uma marca escura que não marca o pape, mas borra facilmente. O H indica uma mina dura, graduação semelhante, que vai deixar apenas uma marca clara, e não vai borrar, mas vai marcar o papel se pressionado forte. O HB é obviamente o meio feliz.

Traditional pencilsTraditional pencilsTraditional pencils

Quando se constroem padrões geométricos, você não quer lápis macios. A razão é que linhas construções escuras rapidamente ficam confusas, e borrar é inevitável. Minas macias também perdem a ponta rapidamente, resultando tanto em apontar constantemente, ou perda da precisão quando desenha.

O que nós queremos, em vez disso é construir o desenho com linhas de construção leves, e usar um lápis macio para pegar as linhas finais dos padrões. É para isso que são esses dois lápis: o 6H permanece apontado por um longo tempo e faz uma linha muito clara, sobre a qual as linhas finais são feitas com o HB para se sobressaírem.

Para padrões muito complicados, uma linha escura intermediária pode ser adicionada no meio, por exemplo um 3H ou 2H. É importante, entretanto, aprender a desenhar levemente com os lápis H proque eles marcam o papel e essa marca não pode ser apagada. Quando o trabalho a lápis está completo, o padrão pode ser tanto passado a tinta, e o lápis apagado, ou pintado, o que vai cobrir o lápis, ou transferido para um folha de papel completamente limpa usando papel vegetal se quiser.

A vantagem de minas de lápis tradicionais é sua acessibilidade, mas o lado negativo é a frequência com que você precisa apontar e seu impacto no ambiente. Uma alternativa que eu pessoalmente prefiro é uma boa lapiseira 2 mm (também chamada lapiseira técnica), assim como a da foto abaixo, com um apontador especial e caixas de minas. Você pode ter apena um lapiseira e trocar as minas que precisa. Evite aquelas com minas mais finas como as 0.5 mm, porque elas não podem ser apontadas até a ponta real (0.5 mm é bem grossa para nossos propósitos). e porque você não tem escolha quando a dureza ou maciez.

Mechanical pencilMechanical pencilMechanical pencil

Régua Reta

Falando estritamente, medidas nunca são usadas em geometria já que elas não são tão precisas quanto as devidas construções, e nós nunca vamos usá-las nesse curso. Nós teremos que achar nossa maneira de encontrar uma borda reta sem marcas de medida, então nós devemos pegar uma boa régua.

Para ferramentas de precisão, você não pode se enganar com marcas que atendem arquitetos, e cada loja de material artístico deverá ter pelo menos uma. Você pode imaginar, qualquer régua não seria boa o suficiente? Bem, não: marcações podem não importar muito, mais a linha reta é muito importante!

Aqui está como testar a borda reta de uma régua: desenhe uma linha ao longo da borda da régua, então vire a régua e desenhe uma linha por cima da primeira ao longo da mesma borda. Eu testei isso abaixo com uma régua confiável que eu tenho usado desde de 1997:

Good rulerGood rulerGood ruler

Vamos olhar de perto: veja como a linha ainda é definitivamente uma linha única. Isso significa que a borda está perfeitamente reta.

Good ruler close-upGood ruler close-upGood ruler close-up

O próximo teste é com uma régua de metal, você vê como tais bordas são boas para corte, mas nunca devem ser usadas para trabalho de precisão.

Bad rulerBad rulerBad ruler

No close acima, vê como a linha se divide em direção a direita? Se toda a imagem pudesse caber nessa tela, você veria que mesmo as duas linhas sendo traçadas com a mesma borda, elas encerram um espaço estreito, indicando que a borda é levemente curva. Exatamente o que queremos evitar!

Compasso

Nossa ferramenta mais interessante e mais importante, também a mais cara, mas um bom compasso vale seu peso em ouro e vai durar a vida inteira. Está bem usar um compasso escolar barato para aprender, é claro, e fazer uma melhoria quando passar para um trabalho sério (ou quando você ficar frustrado com a falta de precisão).

Um compasso basicamente tem dua pernas conectadas por uma articulação: uma das pernas termina em uma ponta seca, a outra em uma ponta com grafite. A perna com grafite pode ser ajustada para obter diferentes aberturas enquanto a ponta seca é mantida parada no papel, o que cria um círculo. É inteiramente possível criar figuras geométricas complexas com nada além de uma compasso, replicando os métodos de corda e pinos usados em arquitetura há muito tempo atrás.

Compass and accessoriesCompass and accessoriesCompass and accessories

O que procurar num Compasso

  1. Um mecanismo de parafuso para alterar a abertura do compasso (ou pelo menos um parafuso para travar a articulação de modo que fique parada na abertura desejada, quando você configurar). Você não quer que o compasso se abra e feche facilmente porque a abertura vai inevitavelmente se alterar enquanto você trabalha.
  2. Uma ponta grafite intercambiável. O final da perna direita do compasso acima pode ser removido e substituído com o pequeno dispositivo a direita, onde qualquer ferramenta de desenho pode ser inserida: um lápis, caneta, ou até mesmo um pincel. Isso é incrivelmente útil, como alternativa seria tinta ou colorir as linhas à mão livre, colocando em perigo a perfeição da curva.
  3. Uma extensão da perna: Esse é o acessório mais longo na parte inferior. Torna possível desenhar círculos muito maiores. Por exemplo, esse compasso pode fazer um círculo com raio de 25 cm, mas a extensão da perna aumenta para 35 cm.

Alguns compassos não tem uma mina como esse tem, mas são desenvolvidos para serem equipados com um lápis. Está tudo bem: é uma questão de preferência pessoal, sujeito aos mesmos prós e contras que eu expliquei quando comparei lápis tradicionais as lapiseiras.

Dicas Para Se Usar um Compasso.

  • Cubra sua superfície de trabalho com um pedaço grande de papelão ou cartolina (no mínimo do tamanho do papel), para as duas finalidade, proteger da ponta seca, e também para a ponta penetrar o suficiente para ficar no lugar. De outro modo isso pode ser muito frustrante, já que fica escorregando.
  • Posicione a ponta seca, com muita precisão, onde você quer que fique, e então segure a haste (no topo) entre o polegar e o indicador para rotacioná-lo e criar um círculo. Conseguir um lindo círculo uniforme desse modo pode precisar de alguma prática primeiro; isso é normal. Tente manter o compasso razoavelmente na posição vertical enquanto desenha. Nunca segure o compasso com uma perna em cada mão, isso altera a abertura.
  • Eu devo enfatizar isso: tome muito cuidado para posicionar a ponta seca precisamente, e manter a ponta grafite apontada. A razão pela qual algumas pessoas são boas em geometria e algumas não são, se deve tudo a precisão.

Construção Básica

Chega de teoria, vamos começar a desenhar! Pegue suas ferramentas e algum papel sulfite, e vamos começar.

Legenda de Diagramas

Na construção dos diagramas através do curso, eu uso os seguintes tipos e cores de linhas. Aqui está o que elas significam:

Diagrams legendDiagrams legendDiagrams legend

Triângulo (com um lado determinado)

É como prosseguir se você estiver começando a partir de um segmento de linha, o que significa que você já tem um dos lados.

Passo 1

Ponta seca em A, desenhe um arco a partir de B.

Triangle on a given side step 1Triangle on a given side step 1Triangle on a given side step 1

Passo 2

Ponta seca em B, desenhe um arco de a partir de A para encontrar o terceiro ponto C.

Triangle on a given side step 2Triangle on a given side step 2Triangle on a given side step 2

Passo 3

Unir. Se a abertura do seu compasso for maior ou menor que AB, então o triângulo é isósceles.

Triangle on a given side step 3Triangle on a given side step 3Triangle on a given side step 3

Triângulo (em um círculo)

Se você tem um determinado círculo e você precisa inscrever um triângulo equilátero nele (significando que os três pontos dele estarão no círculo), siga esses três passos:

Passo 1

Desenhe uma linha através do centro, cortando o círculo de A até B.

Triangle in circle step 1Triangle in circle step 1Triangle in circle step 1

Passo 2

Com a mesma abertura do compasso, desenhe um arco que corte círculo nos pontos C e D.

Triangle in circle step 2Triangle in circle step 2Triangle in circle step 2

Passo 3

Unir BCD.

Triangle in circle step 3Triangle in circle step 3Triangle in circle step 3

Bissetriz Perpendicular

Esse termo que soa técnico se refere a uma linha que faz duas coisas: ela divide um segmento (ou ângulo) em dois comprimentos iguais (ou ângulos), e está no ângulo direito do seguimento que divide. Isso é um dispositivo muito importante e é frequente usado no processo de construir outras figuras.

Passo 1

Com um ponto em A e a abertura do compasso igual a AB, desenhe um arco.

Perpendicular bisector step 1Perpendicular bisector step 1Perpendicular bisector step 1

Passo 2

Repita com o ponto B. Os dois arcos se interseccionam acima e abaixo.

Perpendicular bisector step 2Perpendicular bisector step 2Perpendicular bisector step 2

Passo 3

Unir os dois pontos de interseção. O seguimento está agora bisseccionado, e O é o ponto médio entre a e B.

Perpendicular bisector step 3Perpendicular bisector step 3Perpendicular bisector step 3

Tangente Através de um Ponto em um Círculo

Se você tem um determinado ponto (P) em um círculo e precisa desenhar uma tangente através desse ponto em particular:

Passo 1

Comece por desenhar o diâmetro que passa através de P e o centro O, e corta o círculo em outro ponto A.

Tangent through a point on a circle step 1Tangent through a point on a circle step 1Tangent through a point on a circle step 1

Passo 2

Determine a abertura do compasso para a distância AP, posicione a ponta seca em O e desenhe um arco amplo, quase um semicírculo. Ele corta a linha AP em B.

Tangent through a point on a circle step 2Tangent through a point on a circle step 2Tangent through a point on a circle step 2

Passo 3

Sem mudar a abertura do compasso, posicione em B e corte o arco em C e D.

Tangent through a point on a circle step 3Tangent through a point on a circle step 3Tangent through a point on a circle step 3

Passo 4

A linha CD é sua tangente em P.

Tangent through a point on a circle step 4Tangent through a point on a circle step 4Tangent through a point on a circle step 4

Tangente de um Círculo A Partir de um Ponto Externo

Suponha agora que P é um ponto fora do círculo e você precisa desenhar uma tangente que passe através dele.

Passo 1

Una o segmento PO.

Tangent to a circle from an outside point step 1Tangent to a circle from an outside point step 1Tangent to a circle from an outside point step 1

Passo 2

Bisseccionar PO no ponto A.

Tangent to a circle from an outside point step 2Tangent to a circle from an outside point step 2Tangent to a circle from an outside point step 2

Passo 3

Com a ponta seca em A e a abertura do comprimento AO, corte o círculo nos pontos B e C.

Tangent to a circle from an outside point step 3Tangent to a circle from an outside point step 3Tangent to a circle from an outside point step 3

Passo 4

PB e PC são as duas tangentes possíveis a partir do ponto P.

Tangent to a circle from an outside point step 4Tangent to a circle from an outside point step 4Tangent to a circle from an outside point step 4

Paralela (Através de um determinado ponto)

Linhas paralelas são linhas que nunca se tocam, então elas vão na mesma direção. Se sua escola foi parecida com a minha, foi ensinado a você um atalho vago sobre como desenhá-las nas sempre acabava apenas contando com a grade impressa no seu livro didático. Essa entretanto, é a maneira certa e adequada de fazer retas paralelas.

Vamos começar com um ponto determinado numa linha e supor que nós temos um ponto externo P pelo qual a paralela precisa passar.

Passo 1

Com P como centro, desenhe qualquer arco que corte a linha em A.

Parallel through a given point step 1Parallel through a given point step 1Parallel through a given point step 1

Passo 2

Com a mesma abertura de compasso, coloque a ponta seca em A e marque B.

Parallel through a given point step 2Parallel through a given point step 2Parallel through a given point step 2

Passo 3

Agora posicione a ponta seca em B para desenhar um arco que passe por A e corte o primeiro arco em C.

Parallel through a given point step 3Parallel through a given point step 3Parallel through a given point step 3

Passo 4

A linha PC é sua paralela.

Parallel through a given point step 4Parallel through a given point step 4Parallel through a given point step 4

Paralelas (a uma Determinada Distância)

Um pouco mais complicada que desenhar uma paralela a uma distância específica da linha original.

Passo 1

Comece marcando dois pares de pontos na linha. As distâncias não são específicas, mas quanto mais distantes os pares estiverem um do outro, mais preciso o resultado.

Parallels at a given distance step 1Parallels at a given distance step 1Parallels at a given distance step 1

Passo 2

Ache a bissetriz de cada par de pontos.

Parallels at a given distance step 2Parallels at a given distance step 2Parallels at a given distance step 2

Passo 3

Abra o compasso na distância desejada e marque a distância de cada uma das duas bissetrizes.

Parallels at a given distance step 3Parallels at a given distance step 3Parallels at a given distance step 3

Passo 4

Unir.

Parallels at a given distance step 4Parallels at a given distance step 4Parallels at a given distance step 4

Dividindo um Segmento

Nós vamos finalizar essa lição com um método muito bacana para dividir uma segmento em um número de partes iguais. Isso é útil, naturalmente, se você não tem uma régua com marcação à mão, mas atém mesmo a régua não é de muita ajuda se você tem uma segmento medindo 5,63 cm que você precisa dividir em sete seções. Esse método é completamente preciso e vai poupar você de fazer cálculos estranhos.

No exemplo a seguir, nós queremos cortar o segmento AB em sete.

Dividing a segment step 1Dividing a segment step 1Dividing a segment step 1

Passo 1

Desenhe dois arcos com a ponta seca em A e B respectivamente. O raio deles não importa, contanto que eles se interseccionem.

Dividing a segment step 2Dividing a segment step 2Dividing a segment step 2

Passo 2

Una A com uma das intersecções e B com a outra. O resultado são duas linhas paralelas.

Dividing a segment step 3Dividing a segment step 3Dividing a segment step 3

Passo 3

O que nós vamos fazer agora é marcar pontos igualmente espaçados em cada paralela usando compasso. A abertura não importa, mas a mantenha pequena para que todos os pontos caibam na linha. O número de pontos é [número de porções de segmento menos 1], que no caso do nosso exemplo é 7-1 = 6 pontos. Aqui está o primeiro ponto marcado em A.

Dividing a segment step 4Dividing a segment step 4Dividing a segment step 4

Passo 4

Mover a ponta seca do compasso para o ponto que acabou de marcar e marca outro, então repetir até que os seis pontos estejam marcados, então fazer o mesmo começando do ponto B.

Dividing a segment step 5Dividing a segment step 5Dividing a segment step 5

Passo 5

Conectar os pontos, e linhas, cortando o segmento em sete partes iguais

Dividing a segment step 6Dividing a segment step 6Dividing a segment step 6

Então, nós demos os nossos primeiros passos em geometria como uma arte, com operações básicas que serão uteis nas lições futuras ou em nossas próprias explorações. Da próxima vez nós vamos pular direto para as formas reais e padrões, trabalhando com os números 4 e 8...

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