Spanish (Español) translation by Naudys Angulo (you can also view the original English article)
Trabajar con los números 6 y 12 nos introduce en hexágonos, hexagramas, dodecágonos (polígonos de doce lados) y un número de dodecagramas, pero también incluye triángulos por supuesto.
La primera operación que estamos viendo es probablemente la construcción geométrica más antigua conocida por la humanidad, porque sólo requiere un compás o su equivalente antiguo, una cuerda. Recuerdo haberla descubierto espontáneamente como un niño, mientras jugaba distraídamente con mi compás, una experiencia atónita de deleite que estoy segura que muchos han tenido.
Dividir el Círculo En 6
Comenzamos con un círculo.
Paso 1
Manteniendo la misma apertura del compás, coloque la punta seca en la parte superior o inferior del círculo y dibuje otro círculo.
Paso 2
Mueva la punta seca a uno de los puntos de intersección que acaba de crear y dibuje otro círculo.
Paso 3
Recorra el círculo completo de esta manera. El sexto círculo pasa a través de la parte superior del primer círculo (negro), y así completa la figura. El círculo se divide en 6.
Dividiendo el Círculo en 12
Comience con los pasos mostrados arriba para dividirlo en 6. A continuación, conecte los puntos de intersección más lejanos, como se muestra aquí. Estas líneas cortan el círculo en seis puntos más, de modo que ahora se divide en 12.
Formas
Hexágono y Hexagrama
Se crean sobre un círculo dividido en seis, uniendo los seis puntos marcados en el círculo. Si empezamos la división en la parte superior o inferior del primer círculo, como hicimos aquí, las formas son dinámicas.
Para hacerlos estáticos, o comenzar la división de la izquierda o la derecha del círculo, o continuar hasta que sea dividido en 12, y conectar este segundo conjunto de seis puntos en su lugar.
Observe cómo el hexagrama está formado por dos triángulos equiláteros, pero también por un hexágono más pequeño y seis triángulos pequeños.
Dodecágono
Simplemente une los doce puntos del círculo.
Alternativa
Una forma diferente de dividir un círculo en doce es una que ya hemos aprendido en nuestra lección sobre Trabajar con 4 y 8: Siga los pasos para dibujar un cuadrado estático y haga una breve pausa al dibujar el cuadrado. Une los puntos del círculo y descubrirás un dodecágono perfecto.
¿Cómo es esto posible? Esto deja entrever la magia de los números. 12 es un múltiplo de 4, así como de 6 o 3, y por lo tanto está "relacionado" con construcciones cuadradas tanto como a triangulares. El dodecágono es donde el hexágono y el cuadrado pueden encontrarse. Esto es aún más visible en las siguientes formas:
Dodecagramas
Se generan cuatro estrellas diferentes de doce puntas, dependiendo de si unimos cada segundo, tercero, cuarto o quinto punto, y se forman respectivamente los hexágonos, de cuadrados, de triángulos y, finalmente, de una sola línea continua.
Un Hexagrama Más
El último dodecagrama puede servir como cuadrícula para dibujar una estrella de seis puntas diferente, ya sea estática o dinámica, dependiendo de qué puntos se han omitido.
Patrones
La Cuadrícula de Siete Círculos
Anteriormente aprendimos a dibujar la cuadrícula de cinco círculos, la cual genera una cuadrícula de cuadrados. Para 6 y 12, vamos a construir una cuadrícula de siete círculos, para crear patrones raíz tres (√3).
Pasos 1-3
Siga los pasos para dividir el círculo en seis.
Paso 4
Dibuja seis círculos más centrados en los puntos de intersección más externos. La apertura del compás nunca cambia en toda la construcción.
Paso 5
Repita en las nuevas intersecciones para seis círculos más. Estos círculos, más el original que lo rodean, son los siete círculos de la cuadrícula, pero necesitamos completar la "flor" dentro de cada uno de ellos para que la cuadrícula esté completamente funcional.
Paso 6
Vuelva a colocar la punta seca en cada uno de los nuevos puntos de intersección más exterior (ahora hay 12), pero sólo dibuja el arco que está dentro de los círculos previamente dibujados.
Paso 7
Termine con los últimos arcos perdidos.
Aquí está la cuadrícula terminada con los siete círculos debidamente resaltados.
Sin agregar nada más, la propia cuadrícula proporciona muchos patrones simples. Simplemente seleccione algunas líneas (o coloree en las áreas) para crear formas repetitivas. Los círculos subyacentes se pueden agregar ad infinitum para extender el patrón.
Cuadrícula de Hexagramas
Dibujar un hexagrama en cada uno de los círculos produce una red derivada que es igualmente versátil. Los hexagramas no necesitan ser dibujados uno por uno- aparecen cuando se agregan ciertas líneas generales.
Comience con un conjunto de diagonales. Para evitar confusiones, recuerde que pasan por la parte superior o inferior de los siete círculos (ignorar círculos intermedios).
Ahora el siguiente conjunto, la misma idea.
Finalmente las horizontales, que completan los hexagramas. Tenga en cuenta que no pasan por el centro de cualquiera de los siete círculos principales.
Aquí está la rejilla terminada, hecha de hexágonos y triángulos.
La coloración selectiva crea todo tipo de patrones, incluyendo unos inusuales como el tercero a continuación. La cuadrícula se puede extender indefinidamente para extender el patrón.
¿Demasiado angular? ¡Aquí está cómo hacer que esta rejilla / patrón con curvas!
Patrón de Hexágramas Curvados
Paso 1
Coloque la punta seca como se indica y dibuja sólo los dos arcos mostrados. Piense en ello como empujando hacia fuera los lados de ese hexagrama en curvas.
Paso 2
Repita con el punto que refleja el primero.
Paso 3
Continúe todo alrededor del hexagrama.
Paso 4
Repita con cada hexagrama en la cuadrícula.
Cuadrícula de Triángulos Equiláteros
Este es un paso adicional para romper la cuadrícula más abajo, lo que crea aún más flexibilidad en los patrones. Comience con la cuadrícula de hexagramas:
Agregue un conjunto de diagonales ...
... luego el otro.
Termine con las horizontales que faltan.
Aquí está la rejilla terminada.
Esta red básica ofrece infinitas posibilidades. Es como la pintura de píxeles, pero con píxeles triangulares. El popular juego de rompecabezas de Tangram se basa en esto. A continuación se muestran dos ejemplos, mostrando la cuadrícula y sin ella (lo que atenúa considerablemente la presencia de los triángulos).
Patrón del Dodecagrama
Aquí hay un uso diferente de la cuadrícula de siete círculos. En lugar de dividir la superficie en baldosas para rellenarlos individualmente, vamos a construir formas más complejas.
Nuestro punto de partida es una cuadrícula de hexagramas:
Paso 1
Trace o al menos oscurezca el contorno externo de cada hexagrama, ya que éstas son líneas finales. Los detalles en los siete círculos pueden ser borrados para mayor claridad, pero necesitamos sus contornos.
Paso 2
Necesitamos dividir cada círculo en 12. Para hacer esto a granel, agregue las diagonales como si estuviera construyendo una cuadrícula de triángulos, primero de una manera ...
... luego de la otra manera ...
... y finalmente las horizontales.
Paso 3
Trabajando en el círculo resaltado, conecte los seis nuevos puntos para formar un segundo hexagrama.
Paso 4
Ahora trace el contorno del hexagrama.
Paso 5
Repita los pasos 3 y 4 en cada círculo. Este diseño final puede ser llenado, o dado un efecto tejido (cómo hacer esto será cubierto en una próxima lección.)
Patrón con Cuadrados, Triángulos y Hexágonos
Vamos a terminar con un patrón ligeramente complicado, pero de aspecto diferente. Como base, requiere la cuadrícula de siete círculos más la cuadrícula triangular completa. Este patrón se ve mejor en una cuadrícula extendida, donde puede repetir más, pero nos atenemos a los siete círculos para la demostración.
Aquí está nuestra rejilla de inicio, usando diferentes colores para los círculos y triángulos, para mayor claridad.
Paso 1
Comenzaremos con el círculo central. Busque y marque las intersecciones a continuación. Son difíciles porque no son la intersección de líneas rectas, o de círculos, sino cuatro puntos en el contorno de este hexágono central donde es cortado por arcos
Si tienes los puntos correctos, uniéndolos produce un cuadrado perfecto.
Paso 2
Todo lo que vamos a hacer para este patrón es dibujar estos cuadrados. En caso de conseguir que es difícil, con esta cuadrícula compleja, y este último tiene que haber sido dibujado con mucha precisión.
Veamos ahora los cuadrados en los círculos superior e inferior. También son estáticos, por lo que los puntos son fáciles de detectar.
Une los puntos:
Paso 3
Los mismos cuadrados se pueden encontrar en los últimos cuatro de los siete círculos, todos estáticos.
Paso 4
Ahora nos movemos a los círculos intermedios inferiores, que producen los cuadrados inclinados. Sabiendo que dos de los cuatro puntos coinciden con las esquinas de los cuadrados dinámicos, podemos localizar los otros dos puntos para cada uno de ellos. Las intersecciones son las mismas que antes, pero en un ángulo.
Une a los puntos, aquí están los cuadrados:
Paso 5
Ahora es fácil visualizar los cuadrados restantes cuando nos volvemos a los círculos intermedios restantes- en un patrón más completo, sus cuatro esquinas ya estarían definidas, ya que están en las dos más cerca del centro de abajo.
Aquí está el patrón sin la cuadrícula (he añadido cuatro cuadrados externos para "cerrarlo", por lo que es más claro). Observe que donde tres cuadrados tocan, encierran un triángulo equilátero, y cada círculo de seis cuadrados crea un hexágono. Por supuesto, también puede lograr el mismo resultado encontrando hexágonos y / o triángulos en su lugar.
Esto es sólo una porción del patrón, en realidad: la forma correcta de dibujar esta es continuar la cuadrícula de círculos hasta el borde de la superficie que usted está llenando, dibujar una red igualmente amplia de triángulos y luego encontrar todos los cuadrados involucrados .
A continuación, obtendrá lo siguiente, y la forma en que se colorea puede cambiar las formas dramáticamente.
Eso será para 6 y 12! No sólo hemos aprendido a trabajar con triángulos, hexágonos y dodecágonos (y estrellas relacionadas), también hemos visto cómo juntarlos con cuadrados, y cómo una cuadrícula de siete círculos puede producir no sólo varios patrones, sino otras cuadrículas.
El próximo mes trabajaremos con un par final de números, 5 y 10, y también algunos números impares como 7 y 9.
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