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Diseño Geométrico:Trabajando Con 6 y 12

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Read Time: 8 mins
This post is part of a series called Geometric Design for Beginners.
Geometric Design: Working With 4 and 8
Geometric Design: Working With 5 and 10

Spanish (Español) translation by Naudys Angulo (you can also view the original English article)

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What You'll Be Creating

Trabajar con los números 6 y 12 nos introduce en hexágonos, hexagramas, dodecágonos (polígonos de doce lados) y un número de dodecagramas, pero también incluye triángulos por supuesto.

La primera operación que estamos viendo es probablemente la construcción geométrica más antigua conocida por la humanidad, porque sólo requiere un compás o su equivalente antiguo, una cuerda. Recuerdo haberla descubierto espontáneamente como un niño, mientras jugaba distraídamente con mi compás, una experiencia atónita de deleite que estoy segura que muchos han tenido.

Dividir el Círculo En 6

Comenzamos con un círculo.

Dividing the circle into 6 starting pointDividing the circle into 6 starting pointDividing the circle into 6 starting point

Paso 1

Manteniendo la misma apertura del compás, coloque la punta seca en la parte superior o inferior del círculo y dibuje otro círculo.

Dividing the circle into 6 step 1Dividing the circle into 6 step 1Dividing the circle into 6 step 1

Paso 2

Mueva la punta seca a uno de los puntos de intersección que acaba de crear y dibuje otro círculo.

Dividing the circle into 6 step 2Dividing the circle into 6 step 2Dividing the circle into 6 step 2

Paso 3

Recorra el círculo completo de esta manera. El sexto círculo pasa a través de la parte superior del primer círculo (negro), y así completa la figura. El círculo se divide en 6.

Dividing the circle into 6 step 3Dividing the circle into 6 step 3Dividing the circle into 6 step 3

Dividiendo el Círculo en 12

Comience con los pasos mostrados arriba para dividirlo en 6. A continuación, conecte los puntos de intersección más lejanos, como se muestra aquí. Estas líneas cortan el círculo en seis puntos más, de modo que ahora se divide en 12.

Dividing the circle into 12Dividing the circle into 12Dividing the circle into 12

Formas

Hexágono y Hexagrama

Se crean sobre un círculo dividido en seis, uniendo los seis puntos marcados en el círculo. Si empezamos la división en la parte superior o inferior del primer círculo, como hicimos aquí, las formas son dinámicas.

Dynamic hexagon and hexagramDynamic hexagon and hexagramDynamic hexagon and hexagram

Para hacerlos estáticos, o comenzar la división de la izquierda o la derecha del círculo, o continuar hasta que sea dividido en 12, y conectar este segundo conjunto de seis puntos en su lugar.

Static hexagon and hexagramStatic hexagon and hexagramStatic hexagon and hexagram

Observe cómo el hexagrama está formado por dos triángulos equiláteros, pero también por un hexágono más pequeño y seis triángulos pequeños.

Tiles from Egypt or SyriaTiles from Egypt or SyriaTiles from Egypt or Syria
Azulejos de Egipto o Siria, siglo XV.

Dodecágono

Simplemente une los doce puntos del círculo.

DodecagonDodecagonDodecagon

Alternativa

Una forma diferente de dividir un círculo en doce es una que ya hemos aprendido en nuestra lección sobre Trabajar con 4 y 8: Siga los pasos para dibujar un cuadrado estático y haga una breve pausa al dibujar el cuadrado. Une los puntos del círculo y descubrirás un dodecágono perfecto.

Alternative methodAlternative methodAlternative method

¿Cómo es esto posible? Esto deja entrever la magia de los números. 12 es un múltiplo de 4, así como de 6 o 3, y por lo tanto está "relacionado" con construcciones cuadradas tanto como a triangulares. El dodecágono es donde el hexágono y el cuadrado pueden encontrarse. Esto es aún más visible en las siguientes formas:

Dodecagramas

Se generan cuatro estrellas diferentes de doce puntas, dependiendo de si unimos cada segundo, tercero, cuarto o quinto punto, y se forman respectivamente los hexágonos, de cuadrados, de triángulos y, finalmente, de una sola línea continua.

Four dodecagramsFour dodecagramsFour dodecagrams

Un Hexagrama Más

El último dodecagrama puede servir como cuadrícula para dibujar una estrella de seis puntas diferente, ya sea estática o dinámica, dependiendo de qué puntos se han omitido.

Different hexagramsDifferent hexagramsDifferent hexagrams

Patrones

La Cuadrícula de Siete Círculos

Anteriormente aprendimos a dibujar la cuadrícula de cinco círculos, la cual genera una cuadrícula de cuadrados. Para 6 y 12, vamos a construir una cuadrícula de siete círculos, para crear patrones raíz tres (√3).

Pasos 1-3

Siga los pasos para dividir el círculo en seis.

Seven-circle grid steps 1-3Seven-circle grid steps 1-3Seven-circle grid steps 1-3

Paso 4

Dibuja seis círculos más centrados en los puntos de intersección más externos. La apertura del  compás nunca cambia en toda la construcción.

Seven-circle grid step 4Seven-circle grid step 4Seven-circle grid step 4

Paso 5

Repita en las nuevas intersecciones para seis círculos más. Estos círculos, más el original que lo rodean, son los siete círculos de la cuadrícula, pero necesitamos completar la "flor" dentro de cada uno de ellos para que la cuadrícula esté completamente funcional.

Seven-circle grid step 5Seven-circle grid step 5Seven-circle grid step 5

Paso 6

Vuelva a colocar la punta seca en cada uno de los nuevos puntos de intersección más exterior (ahora hay 12), pero sólo dibuja el arco que está dentro de los círculos previamente dibujados.

Seven-circle grid step 6Seven-circle grid step 6Seven-circle grid step 6

Paso 7

Termine con los últimos arcos perdidos.

Seven-circle grid step 7Seven-circle grid step 7Seven-circle grid step 7

Aquí está la cuadrícula terminada con los siete círculos debidamente resaltados.

Seven-circle grid finishedSeven-circle grid finishedSeven-circle grid finished

Sin agregar nada más, la propia cuadrícula proporciona muchos patrones simples. Simplemente seleccione algunas líneas (o coloree en las áreas) para crear formas repetitivas. Los círculos subyacentes se pueden agregar ad infinitum para extender el patrón.

Patterns from the seven-circle gridPatterns from the seven-circle gridPatterns from the seven-circle grid

Cuadrícula de Hexagramas

Dibujar un hexagrama en cada uno de los círculos produce una red derivada que es igualmente versátil. Los hexagramas no necesitan ser dibujados uno por uno- aparecen cuando se agregan ciertas líneas generales.

Comience con un conjunto de diagonales. Para evitar confusiones, recuerde que pasan por la parte superior o inferior de los siete círculos (ignorar círculos intermedios).

Grid of hexagrams step 1Grid of hexagrams step 1Grid of hexagrams step 1

Ahora el siguiente conjunto, la misma idea.

Grid of hexagrams step 2Grid of hexagrams step 2Grid of hexagrams step 2

Finalmente las horizontales, que completan los hexagramas. Tenga en cuenta que no pasan por el centro de cualquiera de los siete círculos principales.

Grid of hexagrams step 3Grid of hexagrams step 3Grid of hexagrams step 3

Aquí está la rejilla terminada, hecha de hexágonos y triángulos.

Grid of hexagrams finishedGrid of hexagrams finishedGrid of hexagrams finished

La coloración selectiva crea todo tipo de patrones, incluyendo  unos inusuales como el tercero a continuación. La cuadrícula se puede extender indefinidamente para extender el patrón.

Patterns from grid of hexagramsPatterns from grid of hexagramsPatterns from grid of hexagrams
Detail from Topkapi palaceDetail from Topkapi palaceDetail from Topkapi palace
Detalle del palacio de Topkapi en Estambul. Foto de Giovanni Dall'Orto.

¿Demasiado angular? ¡Aquí está cómo hacer que esta rejilla / patrón con curvas!

Patrón de Hexágramas Curvados

Paso 1

Coloque la punta seca como se indica y dibuja sólo los dos arcos mostrados. Piense en ello como empujando hacia fuera los lados de ese hexagrama en curvas.

Curved hexagrams pattern step 1Curved hexagrams pattern step 1Curved hexagrams pattern step 1

Paso 2

Repita con el punto que refleja el primero.

Curved hexagrams pattern step 2Curved hexagrams pattern step 2Curved hexagrams pattern step 2

Paso 3

Continúe todo alrededor del hexagrama.

Curved hexagrams pattern step 3Curved hexagrams pattern step 3Curved hexagrams pattern step 3

Paso 4

Repita con cada hexagrama en la cuadrícula.

Curved hexagrams pattern step 4Curved hexagrams pattern step 4Curved hexagrams pattern step 4
Curved hexagrams patternCurved hexagrams patternCurved hexagrams pattern

Cuadrícula de Triángulos Equiláteros

Este es un paso adicional para romper la cuadrícula más abajo, lo que crea aún más flexibilidad en los patrones. Comience con la cuadrícula de hexagramas:

Grid of equilateral triangles step 1Grid of equilateral triangles step 1Grid of equilateral triangles step 1

Agregue un conjunto de diagonales ...

Grid of equilateral triangles step 2Grid of equilateral triangles step 2Grid of equilateral triangles step 2

... luego el otro.

Grid of equilateral triangles step 3Grid of equilateral triangles step 3Grid of equilateral triangles step 3

Termine con las horizontales que faltan.

Grid of equilateral triangles step 4Grid of equilateral triangles step 4Grid of equilateral triangles step 4

Aquí está la rejilla terminada.

Grid of equilateral triangles finished Grid of equilateral triangles finished Grid of equilateral triangles finished

Esta red básica ofrece infinitas posibilidades. Es como la pintura de píxeles, pero con píxeles triangulares. El popular juego de rompecabezas de Tangram se basa en esto. A continuación se muestran dos ejemplos, mostrando la cuadrícula y sin ella (lo que atenúa considerablemente la presencia de los triángulos).

Patterns from grid of equilateral trianglesPatterns from grid of equilateral trianglesPatterns from grid of equilateral triangles
Patterns from grid of equilateral trianglesPatterns from grid of equilateral trianglesPatterns from grid of equilateral triangles

Patrón del Dodecagrama

Aquí hay un uso diferente de la cuadrícula de siete círculos. En lugar de dividir la superficie en baldosas para rellenarlos individualmente, vamos a construir formas más complejas.

Nuestro punto de partida es una cuadrícula de hexagramas:

Dodecagram pattern starting pointDodecagram pattern starting pointDodecagram pattern starting point

Paso 1

Trace o al menos oscurezca el contorno externo de cada hexagrama, ya que éstas son líneas finales. Los detalles en los siete círculos pueden ser borrados para mayor claridad, pero necesitamos sus contornos.

Dodecagram pattern step 1Dodecagram pattern step 1Dodecagram pattern step 1

Paso 2

Necesitamos dividir cada círculo en 12. Para hacer esto a granel, agregue las diagonales como si estuviera construyendo una cuadrícula de triángulos, primero de una manera ...

Dodecagram pattern step 2Dodecagram pattern step 2Dodecagram pattern step 2

... luego de la otra manera ...

Dodecagram pattern step 2bDodecagram pattern step 2bDodecagram pattern step 2b

... y finalmente las horizontales.

Dodecagram pattern step 2cDodecagram pattern step 2cDodecagram pattern step 2c

Paso 3

Trabajando en el círculo resaltado, conecte los seis nuevos puntos para formar un segundo hexagrama.

Dodecagram pattern step 3Dodecagram pattern step 3Dodecagram pattern step 3

Paso 4

Ahora trace el contorno del hexagrama.

Dodecagram pattern step 4Dodecagram pattern step 4Dodecagram pattern step 4

Paso 5

Repita los pasos 3 y 4 en cada círculo. Este diseño final puede ser llenado, o dado un efecto tejido (cómo hacer esto será cubierto en una próxima lección.)

Dodecagram pattern step 5Dodecagram pattern step 5Dodecagram pattern step 5

Patrón con Cuadrados, Triángulos y Hexágonos

Vamos a terminar con un patrón ligeramente complicado, pero de aspecto diferente. Como base, requiere la cuadrícula de siete círculos más la cuadrícula triangular completa. Este patrón se ve mejor en una cuadrícula extendida, donde puede repetir más, pero nos atenemos a los siete círculos para la demostración.

Aquí está nuestra rejilla de inicio, usando diferentes colores para los círculos y triángulos, para mayor claridad.

Pattern with squares triangles and hexagons starting pointPattern with squares triangles and hexagons starting pointPattern with squares triangles and hexagons starting point

Paso 1

Comenzaremos con el círculo central. Busque y marque las intersecciones a continuación. Son difíciles porque no son la intersección de líneas rectas, o de círculos, sino cuatro puntos en el contorno de este hexágono central donde es cortado por arcos

Pattern with squares triangles and hexagons step 1Pattern with squares triangles and hexagons step 1Pattern with squares triangles and hexagons step 1

Si tienes los puntos correctos, uniéndolos produce un cuadrado perfecto.

Pattern with squares triangles and hexagons step 1bPattern with squares triangles and hexagons step 1bPattern with squares triangles and hexagons step 1b

Paso 2

Todo lo que vamos a hacer para este patrón es dibujar estos cuadrados. En caso de conseguir que es difícil, con esta cuadrícula compleja, y este último tiene que haber sido dibujado con mucha precisión.

Veamos ahora los cuadrados en los círculos superior e inferior. También son estáticos, por lo que los puntos son fáciles de detectar.

Pattern with squares triangles and hexagons step 2Pattern with squares triangles and hexagons step 2Pattern with squares triangles and hexagons step 2

Une los puntos:

Pattern with squares triangles and hexagons step 2bPattern with squares triangles and hexagons step 2bPattern with squares triangles and hexagons step 2b

Paso 3

Los mismos cuadrados se pueden encontrar en los últimos cuatro de los siete círculos, todos estáticos.

Pattern with squares triangles and hexagons step 3Pattern with squares triangles and hexagons step 3Pattern with squares triangles and hexagons step 3
Pattern with squares triangles and hexagons step 3bPattern with squares triangles and hexagons step 3bPattern with squares triangles and hexagons step 3b

Paso 4

Ahora nos movemos a los círculos intermedios inferiores, que producen los cuadrados inclinados. Sabiendo que dos de los cuatro puntos coinciden con las esquinas de los cuadrados dinámicos, podemos localizar los otros dos puntos para cada uno de ellos. Las intersecciones son las mismas que antes, pero en un ángulo.

Pattern with squares triangles and hexagons step 4Pattern with squares triangles and hexagons step 4Pattern with squares triangles and hexagons step 4

Une a los puntos, aquí están los cuadrados:

Pattern with squares triangles and hexagons step 4bPattern with squares triangles and hexagons step 4bPattern with squares triangles and hexagons step 4b

Paso 5

Ahora es fácil visualizar los cuadrados restantes cuando nos volvemos a los círculos intermedios restantes- en un patrón más completo, sus cuatro esquinas ya estarían definidas, ya que están en las dos más cerca del centro de abajo.

Pattern with squares triangles and hexagons step 5Pattern with squares triangles and hexagons step 5Pattern with squares triangles and hexagons step 5
Pattern with squares triangles and hexagons step 5bPattern with squares triangles and hexagons step 5bPattern with squares triangles and hexagons step 5b

Aquí está el patrón sin la cuadrícula (he añadido cuatro cuadrados externos para "cerrarlo", por lo que es más claro). Observe que donde tres cuadrados tocan, encierran un triángulo equilátero, y cada círculo de seis cuadrados crea un hexágono. Por supuesto, también puede lograr el mismo resultado encontrando hexágonos y / o triángulos en su lugar.

Esto es sólo una porción del patrón, en realidad: la forma correcta de dibujar esta es continuar la cuadrícula de círculos hasta el borde de la superficie que usted está llenando, dibujar una red igualmente amplia de triángulos y luego encontrar todos los cuadrados involucrados .

Partial patternPartial patternPartial pattern

A continuación, obtendrá lo siguiente, y la forma en que se colorea puede cambiar las formas dramáticamente.

Pattern with squares triangles and hexagonsPattern with squares triangles and hexagonsPattern with squares triangles and hexagons

Eso será para 6 y 12! No sólo hemos aprendido a trabajar con triángulos, hexágonos y dodecágonos (y estrellas relacionadas), también hemos visto cómo juntarlos con cuadrados, y cómo una cuadrícula de siete círculos puede producir no sólo varios patrones, sino otras cuadrículas.

El próximo mes trabajaremos con un par final de números, 5 y 10, y también algunos números impares como 7 y 9.

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