Spanish (Español) translation by Naudys Angulo (you can also view the original English article)
Geometría con los números 4 y 8 significa que estaremos construyendo cuadrados, octógonos, octagramas y algunos patrones basados en ellos. Permítanme primero definir rápidamente un par de palabras nuevas:
- Las palabras que terminan en -gono significan: forma x-lados. Un octágono tiene 8 lados, un decágono tiene 10 lados, etc.
- Las palabras que terminan en -grama significan: estrella x-puntas. Un octagrama es una estrella de 8 puntas, un hexagrama una estrella de 6 puntas, etc.
Considerando que hay solamente un -gono regular para cada número, puede haber varios -gramas (o estrellas), dependiendo de cómo los puntos conectan. Cuantos más puntos tiene un polígono, más estrellas posibles contiene.
Dos palabras más que usaremos con frecuencia para describir formas son: estáticas y dinámicas.En términos muy sencillos, una forma estática reposa en un lado, mientras que una forma dinámica se coloca en un punto.
Estos adjetivos expresan claramente el sentimiento que obtenemos de estas dos posiciones. (Sí, geometría y sentimiento en la misma frase!)
Al construir cualquier forma, tenemos que decidir si queremos que sea estática o dinámica, y utilizar el método de construcción adecuado. Pero estas no son las dos únicas premisas posibles: a menudo no partimos de cero, sino que tenemos que trabajar alrededor de una dada, como un punto existente, un segmento, un círculo o una medida específica. Cada una de estas situaciones requiere un método de construcción diferente.
No voy a pasar por todos y cada uno de ellos, ya que hay docenas, pero te voy a mostrar al menos un par por figura, para explorar diferentes maneras de hacer las cosas.
Formas
Cuadrado (en un lado)
Como dice el título, este es el método a utilizar si uno de los lados ya está definido, pero también se puede utilizar si estás empezando desde cero. En este caso, debe definir el segmento usted mismo antes del paso 1.
Paso 1
Con AB con su compás abierto, dibuja un arco centrado en A. A lo largo de toda esta construcción, la apertura del compás sigue siendo la misma.
Paso 2
Ahora mueva la punta seca a B y corte el primer arco en C.
Paso 3
Mueva la punta seca a C para dibujar un arco que corte el arco original (centrado en A) en otro punto D.
Paso 4
Ahora mueva la punta seca a D para marcar un punto E en el arco que acabamos de dibujar.
Paso 5
Conecta E y A para encontrar F. Hasta ahora hemos hecho todo esto para encontrar la perpendicular a AB en A.
Paso 6
Un último arco: punta seca en F, dibuje un arco para encontrar el cuarto punto en el cuadrado, G. Éste cortará el arco que tenía B como su centro.
Paso 7
Unir G a F y B, para completar el cuadrado.
Aunque este es un método útil, Yo observo en las artes tradicionales una marcada preferencia por los métodos que comienzan con un círculo. Tal vez sea un hábito simbólico, un recordatorio de que el Uno (para el cual el círculo es un símbolo) precede a todas las cosas, o tal vez es más elegante. No descartes lo anterior como redundante: si todo lo que tenías era un compás oxidado, que es un compás con una abertura fija que usaron nuestros antepasados, el siguiente método no sería factible.
Cuadrado Dinámico (en un círculo)
Nuestro punto de partida es un círculo con un diámetro dibujado. No importa si el círculo o el diámetro llegó primero.
Paso 1
Dibuja la bisectriz a este diámetro, como aprendió en la lección 1. Empieza dibujando dos arcos que se intersectan...
Paso 2
... y conecta las intersecciones. La bisectriz corta el círculo en dos puntos, por lo que tenemos un total de cuatro puntos definidos en el círculo.
Paso 3
Conecte los cuatro puntos.
Cuadrado Estático (Alrededor de un Círculo)
Pasos 1-2
Esto es lo mismo que en la construcción anterior: Comenzando con un círculo con un diámetro horizontal, encuentre la bisectriz para que el círculo sea cortado en cuatro.
Paso 3
Con el compás abierto igual al radio del círculo, coloque la punta seca en cada uno de los dos puntos originales de nuevo, para dibujar dos arcos que forman una tangente en el centro.
Paso 4
Repita esto, centrado en los puntos definidos por la bisectriz. Los cuatro arcos definen cuatro puntos fuera del círculo.
Paso 5
Conecte estos cuatro puntos.
Con sólo dos pasos más, podemos crear dos estrellas de cuatro puntas.
Estrellas de Cuatro-Puntas Estática y Dinámica
Paso 6
Unir los cuatro puntos en el círculo con las cuatro esquinas del cuadrado estático como se muestra aquí:
Paso 7
Contornee la estrella deseada.
Octágono Estático y Octagram (en Cuadrado)
Paso 1
Comenzamos con un cuadrado. Dibuja las diagonales.
Paso 2
Punta seca en A, compás que abre de A al centro, marca dos puntos en el cuadrado.
Pasos 3-5
Repetir con punta seca en B, C y D.
Paso 6
Para un octágono, conecte los ocho puntos que ha marcado.
Para un octograma, conecte los puntos como se muestra a continuación. Usted básicamente está saltando todos los demás puntos a medida que los conecta. Observe que este octograma, la clásica estrella de ocho puntas, está hecho de dos cuadrados perfectos.
Si salta dos puntos al conectarse, obtendrá un octograma diferente:
¡Observe el octagrama más pequeño creado en el corazón del grande!
Octágono Dinámico (en Círculo)
Pasos 1-4
Estos son los mismos pasos que seguimos para construir un cuadrado estático. Simplemente deje de unir los cuatro puntos externos.
Paso 5
Conecte los puntos exteriores en diagonal. Las diagonales cortan el círculo en cuatro nuevos puntos, de modo que ahora se corta en ocho.
Paso 6
Para un octágono dinámico, une estos ocho puntos.
Para un octagrama dinámico, únelos saltando cada otro punto, como se muestra a continuación, dibujando dos cuadrados.
Patrones
Hasta ahora hemos estado construyendo formas individuales, pero ahora podemos empezar a juntarlas en patrones o mosaicos. Una cosa a saber sobre el azulejo: los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos son los únicos polígonos regulares que se embaldosan sin dejar ningún espacio en blanco.
Todos los demás, incluyendo octágonos, dejarán espacios de varias formas. Este es un inconveniente, por ejemplo, en el empaquetado, ya que ese espacio se considera entonces almacenamiento desperdiciado o espacio de envío. No es en absoluto un inconveniente en el arte, donde estas pequeñas formas intermedias sirven como contrapuntos a las formas principales, contrastando en tamaño y color, o fusionándose con ellas para crear nuevas formas inusuales.
Volviendo a nuestra actividad actual: Tres patrones simples y diferentes pueden ser construidos con formas de ocho puntas, y todos tienen la misma cuadrícula básica. La cuadrícula se basa en cuatro círculos alrededor de un quinto, por lo tanto, una cuadrícula de cuadrados también se conoce como una cuadrícula de cinco círculos. Permítanme también mencionar, sólo en caso de que se encuentren con el término, que los patrones y construcciones basadas en el cuadrado se denominan a veces patrones raíz de dos (√2). Todos estos términos son diferentes maneras de decir que estamos trabajando con 4 y 8 (y 12, 16 y otros múltiplos).
Al construir la rejilla, no puedo enfatizar suficientemente la importancia de trabajar con gran precisión, especialmente ahora nos estamos moviendo a los patrones. Asegúrese de que su lápiz está afilado, y tómese su tiempo.
La Cuadrícula de Cinco Círculos
Paso 1
Dibuja una línea horizontal y un círculo centrado en esta línea, sabiendo que los lados de los cuadrados de la cuadrícula serán iguales al diámetro de este círculo y que este círculo será el centro mismo de la cuadrícula.
Paso 2
Busca y dibuja la bisectriz. Usted necesitará que sea tan largo como la línea horizontal, pero siempre se puede extender a medida que avanza.
Pasos 3 y 4
Dibuje los cuatro arcos nuevamente, esta vez haciendo círculos completos. Estos son los cinco círculos primarios que dan a la rejilla su nombre.
Paso 5
Dibuja cuatro círculos más con los centros mostrados aquí ...
Paso 6
... y cuatro más.
Paso 7
Ahora dibuje ocho círculos más con los centros de abajo. Tenga en cuenta que simplemente agregamos nuevos círculos donde los círculos anteriores se cruzan. Esto puede continuar de un área tan amplia como sea necesario, pero vamos a añadir sólo un conjunto más.
Paso 8
Cuadrado fuera de esta cuadrícula, agregando los círculos en las esquinas.
Ahora tenemos 25 círculos, pero muchos de ellos sólo son necesarios para construir la propia cuadrícula. Cuando comencemos a trabajar en un patrón, sólo los nueve círculos tangentes que se muestran aquí, que están inscritos en tantos cuadrados adyacentes, serán nuestro foco.
Paso 9
El último paso en la cuadrícula es agregar las diagonales. Conectar de una manera-los círculos en las esquinas están perdiendo los puntos necesarios para dibujar esas diagonales, pero eso se resolverá en un minuto.
Conéctelos de otra manera ...
Finalmente, rellena los que faltan, gracias a los puntos creados por las diagonales que intersectan los círculos.
Aquí está la cuadrícula según sea necesario para los próximos pasos, limpie cualquier cosa que ya no sea necesaria. El cuadrado exterior ha sido dibujado para unir el patrón, pero eso es opcional.
Octágonos Dinámicos Embaldosados
No se requiere más construcción, ya que cada círculo está dividido en 8. Todo lo que tienes que hacer es conectar los puntos en cada círculo.
Aliento del Misericordioso
Este nombre poético se refiere a un patrón de octagramas que están embaldosados dejando un espacio en forma de cruz entre ellos. Nuestro punto de partida es de nuevo la cuadrícula de cinco círculos.
Paso 1
Los cuadrados dinámicos ya están marcados por las diagonales. Para dibujar los cuadrados dinámicos, debes unir los lados horizontales...
Paso 2
... luego los lados verticales.
Paso 3
Ahora simplemente traza las estrellas de ocho puntas
En el patrón terminado se puede ver de dónde proviene la idea de respirar: los octagramas son como cuadrados "expirando" (expanden), mientras que las cruces son cuadrados "respirando" (se contraen).
Octágonos Estáticos Embaldosados
Este patrón se basa en la construcción estática del octágono que probamos anteriormente, así que necesitamos aplicar eso en la cuadrícula. Felizmente, no hay necesidad de dibujar todas las cuadrados y luego marcar ocho puntos en cada uno de ellos! Sólo necesitamos los puntos más externos, porque todo se une en un conjunto.
Paso 1
Punta seca en la esquina de su cuadrado delimitador, abriéndose al centro del círculo, marque dos puntos.
Paso 2
Repita esto en las otras tres esquinas del cuadrado delimitador, marcando seis puntos más.
Paso 3
Continúe haciendo esto con la punta seca en las intersecciones inferiores, que son esencialmente las esquinas de los cuadrados más pequeños (virtuales) alrededor de cada círculo.
Paso 4
Con un lápiz más suave para que pueda ver estas líneas mejor sobre la cuadrícula antigua, conecte diagonalmente todos los puntos periféricos que acaba de marcar. Se trata de una nueva cuadrícula con nuevas intersecciones.
Paso 5
Conecte las intersecciones para obtener octágonos adyacentes a un lado.
Y para terminar, aquí hay un patrón completo que aparece si conecta las líneas para que los octágonos se superpongan:
Eso es todo para esta lección. Trabajando solo con 4 y 8, aprendimos a construir cuadrados, octágonos y estrellas de cuatro y ocho puntas en dos estados diferentes, luego la cuadrícula cuadrada asociada con estos números y cuatro patrones directamente cedidos por esta cuadrícula- y hay más allí que posiblemente puede se enumerado. El próximo mes seguiremos el mismo proceso con otro par de números: 6 y 12.
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