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Diseño Geométrico: Trabajando Con 4 y 8

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This post is part of a series called Geometric Design for Beginners.
Geometric Design: The Basics
Geometric Design: Working With 6 and 12

Spanish (Español) translation by Naudys Angulo (you can also view the original English article)

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What You'll Be Creating

Geometría con los números 4 y 8 significa que estaremos construyendo cuadrados, octógonos, octagramas y algunos patrones basados en ellos. Permítanme primero definir rápidamente un par de palabras nuevas:

  • Las palabras que terminan en -gono significan: forma x-lados. Un octágono tiene 8 lados, un decágono tiene 10 lados, etc.
  • Las palabras que terminan en -grama significan: estrella x-puntas. Un octagrama es una estrella de 8 puntas, un hexagrama una estrella de 6 puntas, etc.
-gon vs -gram-gon vs -gram-gon vs -gram

Considerando que hay solamente un -gono regular para cada número, puede haber varios -gramas (o estrellas), dependiendo de cómo los puntos conectan. Cuantos más puntos tiene un polígono, más estrellas posibles contiene.

Four different twelve pointed starsFour different twelve pointed starsFour different twelve pointed stars
Cuatro dodecagramas diferentes (estrellas de doce puntas)

Dos palabras más que usaremos con frecuencia para describir formas son: estáticas y dinámicas.En términos muy sencillos, una forma estática reposa en un lado, mientras que una forma dinámica se coloca en un punto.

Static vs dynamicStatic vs dynamicStatic vs dynamic

Estos adjetivos expresan claramente el sentimiento que obtenemos de estas dos posiciones. (Sí, geometría y sentimiento en la misma frase!)

Al construir cualquier forma, tenemos que decidir si queremos que sea estática o dinámica, y utilizar el método de construcción adecuado. Pero estas no son las dos únicas premisas posibles: a menudo no partimos de cero, sino que tenemos que trabajar alrededor de una dada, como un punto existente, un segmento, un círculo o una medida específica. Cada una de estas situaciones requiere un método de construcción diferente.

No voy a pasar por todos y cada uno de ellos, ya que hay docenas, pero te voy a mostrar al menos un par por figura, para explorar diferentes maneras de hacer las cosas.

Formas

Cuadrado (en un lado)

Como dice el título, este es el método a utilizar si uno de los lados ya está definido, pero también se puede utilizar si estás empezando desde cero. En este caso, debe definir el segmento usted mismo antes del paso 1.

Paso 1

Con AB con su compás abierto, dibuja un arco centrado en A. A lo largo de toda esta construcción, la apertura del compás sigue siendo la misma.

Square on a side step 1Square on a side step 1Square on a side step 1

Paso 2

Ahora mueva la punta seca a B y corte el primer arco en C.

Square on a side step 2Square on a side step 2Square on a side step 2

Paso 3

Mueva la punta seca a C para dibujar un arco que corte el arco original (centrado en A) en otro punto D.

Square on a side step 3Square on a side step 3Square on a side step 3

Paso 4

Ahora mueva la punta seca a D para marcar un punto E en el arco que acabamos de dibujar.

Square on a side step 4Square on a side step 4Square on a side step 4

Paso 5

Conecta E y A para encontrar F. Hasta ahora hemos hecho todo esto para encontrar la perpendicular a AB en A.

Square on a side step 5Square on a side step 5Square on a side step 5

Paso 6

Un último arco: punta seca en F, dibuje un arco para encontrar el cuarto punto en el cuadrado, G. Éste cortará el arco que tenía B como su centro.

Square on a side step 6Square on a side step 6Square on a side step 6

Paso 7

Unir G a F y B, para completar el cuadrado.

Square on a side step 7Square on a side step 7Square on a side step 7

Aunque este es un método útil, Yo observo en las artes tradicionales una marcada preferencia por los métodos que comienzan con un círculo. Tal vez sea un hábito simbólico, un recordatorio de que el Uno (para el cual el círculo es un símbolo) precede a todas las cosas, o tal vez es más elegante. No descartes lo anterior como redundante: si todo lo que tenías era un compás oxidado, que es un compás con una abertura fija que usaron nuestros antepasados, el siguiente método no sería factible.

Cuadrado Dinámico (en un círculo)


Nuestro punto de partida es un círculo con un diámetro dibujado. No importa si el círculo o el diámetro llegó primero.

Dynamic SquareDynamic SquareDynamic Square

Paso 1

Dibuja la bisectriz a este diámetro, como aprendió en la lección 1. Empieza dibujando dos arcos que se intersectan...

Dynamic Square step 1Dynamic Square step 1Dynamic Square step 1

Paso 2

... y conecta las intersecciones. La bisectriz corta el círculo en dos puntos, por lo que tenemos un total de cuatro puntos definidos en el círculo.

Dynamic Square step 2Dynamic Square step 2Dynamic Square step 2

Paso 3

Conecte los cuatro puntos.

Dynamic Square step 3Dynamic Square step 3Dynamic Square step 3

Cuadrado Estático (Alrededor de un Círculo)

Pasos 1-2

Esto es lo mismo que en la construcción anterior: Comenzando con un círculo con un diámetro horizontal, encuentre la bisectriz para que el círculo sea cortado en cuatro.

Static Square step 1-2Static Square step 1-2Static Square step 1-2

Paso 3

Con el compás abierto igual al radio del círculo, coloque la punta seca en cada uno de los dos puntos originales de nuevo, para dibujar dos arcos que forman una tangente en el centro.

Static Square step 3Static Square step 3Static Square step 3

Paso 4

Repita esto, centrado en los puntos definidos por la bisectriz. Los cuatro arcos definen cuatro puntos fuera del círculo.

Static Square step 4Static Square step 4Static Square step 4

Paso 5

Conecte estos cuatro puntos.

Static Square step 5Static Square step 5Static Square step 5

Con sólo dos pasos más, podemos crear dos estrellas de cuatro puntas.

Estrellas de Cuatro-Puntas Estática y Dinámica

Paso 6

Unir los cuatro puntos en el círculo con las cuatro esquinas del cuadrado estático como se muestra aquí:

Drawing a four-point starDrawing a four-point starDrawing a four-point star

Paso 7

Contornee la estrella deseada.

Static and dynamic starsStatic and dynamic starsStatic and dynamic stars

Octágono Estático y Octagram (en Cuadrado)

Paso 1

Comenzamos con un cuadrado. Dibuja las diagonales.

Octagon in a square step 1Octagon in a square step 1Octagon in a square step 1

Paso 2

Punta seca en A, compás que abre de A al centro, marca dos puntos en el cuadrado.

Octagon in a square step 2Octagon in a square step 2Octagon in a square step 2

Pasos 3-5

Repetir con punta seca en B, C y D.

Octagon in a square step 3-5Octagon in a square step 3-5Octagon in a square step 3-5

Paso 6

Para un octágono, conecte los ocho puntos que ha marcado.

Octagon in a square step 6Octagon in a square step 6Octagon in a square step 6

Para un octograma, conecte los puntos como se muestra a continuación. Usted básicamente está saltando todos los demás puntos a medida que los conecta. Observe que este octograma, la clásica estrella de ocho puntas, está hecho de dos cuadrados perfectos.

Octagram in a squareOctagram in a squareOctagram in a square

Si salta dos puntos al conectarse, obtendrá un octograma diferente:

Alternate octagramAlternate octagramAlternate octagram

¡Observe el octagrama más pequeño creado en el corazón del grande!

Octágono Dinámico (en Círculo)

Pasos 1-4

Estos son los mismos pasos que seguimos para construir un cuadrado estático. Simplemente deje de unir los cuatro puntos externos.

Dynamic Octagon step 1-4Dynamic Octagon step 1-4Dynamic Octagon step 1-4

Paso 5

Conecte los puntos exteriores en diagonal. Las diagonales cortan el círculo en cuatro nuevos puntos, de modo que ahora se corta en ocho.

Dynamic Octagon step 5Dynamic Octagon step 5Dynamic Octagon step 5

Paso 6

Para un octágono dinámico, une estos ocho puntos.

Dynamic Octagon step 6Dynamic Octagon step 6Dynamic Octagon step 6

Para un octagrama dinámico, únelos saltando cada otro punto, como se muestra a continuación, dibujando dos cuadrados.

Dynamic OctagramDynamic OctagramDynamic Octagram
Octagram-shaped tilesOctagram-shaped tilesOctagram-shaped tiles
Azulejos de Persia Central, siglo XIV

Patrones

Hasta ahora hemos estado construyendo formas individuales, pero ahora podemos empezar a juntarlas en patrones o mosaicos. Una cosa a saber sobre el azulejo: los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos son los únicos polígonos regulares que se embaldosan sin dejar ningún espacio en blanco.

Tesselating shapesTesselating shapesTesselating shapes

Todos los demás, incluyendo octágonos, dejarán espacios de varias formas. Este es un inconveniente, por ejemplo, en el empaquetado, ya que ese espacio se considera entonces almacenamiento desperdiciado o espacio de envío. No es en absoluto un inconveniente en el arte, donde estas pequeñas formas intermedias sirven como contrapuntos a las formas principales, contrastando en tamaño y color, o fusionándose con ellas para crear nuevas formas inusuales.

Non-tessellating shapesNon-tessellating shapesNon-tessellating shapes

Volviendo a nuestra actividad actual: Tres patrones simples y diferentes pueden ser construidos con formas de ocho puntas, y todos tienen la misma cuadrícula básica. La cuadrícula se basa en cuatro círculos alrededor de un quinto, por lo tanto, una cuadrícula de cuadrados también se conoce como una cuadrícula de cinco círculos. Permítanme también mencionar, sólo en caso de que se encuentren con el término, que los patrones y construcciones basadas en el cuadrado se denominan a veces patrones raíz de dos (√2). Todos estos términos son diferentes maneras de decir que estamos trabajando con 4 y 8 (y 12, 16 y otros múltiplos).

Al construir la rejilla, no puedo enfatizar suficientemente la importancia de trabajar con gran precisión, especialmente ahora nos estamos moviendo a los patrones. Asegúrese de que su lápiz está afilado, y tómese su tiempo.

La Cuadrícula de Cinco Círculos

Paso 1

Dibuja una línea horizontal y un círculo centrado en esta línea, sabiendo que los lados de los cuadrados de la cuadrícula serán iguales al diámetro de este círculo y que este círculo será el centro mismo de la cuadrícula.

Five-Circle Grid step 1Five-Circle Grid step 1Five-Circle Grid step 1

Paso 2

Busca y dibuja la bisectriz. Usted necesitará que sea tan largo como la línea horizontal, pero siempre se puede extender a medida que avanza.

Five-Circle Grid step 2Five-Circle Grid step 2Five-Circle Grid step 2

Pasos 3 y 4

Dibuje los cuatro arcos nuevamente, esta vez haciendo círculos completos. Estos son los cinco círculos primarios que dan a la rejilla su nombre.

Five-Circle Grid step 3Five-Circle Grid step 3Five-Circle Grid step 3
Five-Circle Grid step 4Five-Circle Grid step 4Five-Circle Grid step 4

Paso 5

Dibuja cuatro círculos más con los centros mostrados aquí ...

Five-Circle Grid step 5Five-Circle Grid step 5Five-Circle Grid step 5

Paso 6

... y cuatro más.

Five-Circle Grid step 6Five-Circle Grid step 6Five-Circle Grid step 6

Paso 7

Ahora dibuje ocho círculos más con los centros de abajo. Tenga en cuenta que simplemente agregamos nuevos círculos donde los círculos anteriores se cruzan. Esto puede continuar de un área tan amplia como sea necesario, pero vamos a añadir sólo un conjunto más.

Five-Circle Grid step 7Five-Circle Grid step 7Five-Circle Grid step 7

Paso 8

Cuadrado fuera de esta cuadrícula, agregando los círculos en las esquinas.

Five-Circle Grid step 8Five-Circle Grid step 8Five-Circle Grid step 8

Ahora tenemos 25 círculos, pero muchos de ellos sólo son necesarios para construir la propia cuadrícula. Cuando comencemos a trabajar en un patrón, sólo los nueve círculos tangentes que se muestran aquí, que están inscritos en tantos cuadrados adyacentes, serán nuestro foco.

The nine circlesThe nine circlesThe nine circles

Paso 9

El último paso en la cuadrícula es agregar las diagonales. Conectar de una manera-los círculos en las esquinas están perdiendo los puntos necesarios para dibujar esas diagonales, pero eso se resolverá en un minuto.

Five-Circle Grid step 9Five-Circle Grid step 9Five-Circle Grid step 9

Conéctelos de otra manera ...

Five-Circle Grid step 9bFive-Circle Grid step 9bFive-Circle Grid step 9b

Finalmente, rellena los que faltan, gracias a los puntos creados por las diagonales que intersectan los círculos.

Five-Circle Grid step cFive-Circle Grid step cFive-Circle Grid step c

Aquí está la cuadrícula según sea necesario para los próximos pasos, limpie cualquier cosa que ya no sea necesaria. El cuadrado exterior ha sido dibujado para unir el patrón, pero eso es opcional.

Five-Circle Grid readyFive-Circle Grid readyFive-Circle Grid ready

Octágonos Dinámicos Embaldosados

No se requiere más construcción, ya que cada círculo está dividido en 8. Todo lo que tienes que hacer es conectar los puntos en cada círculo.

Tiled Dynamic OctagonsTiled Dynamic OctagonsTiled Dynamic Octagons
Floor pattern with dynamic octagonsFloor pattern with dynamic octagonsFloor pattern with dynamic octagons
Patrón de suelo en la Tumba de Itmad-Ud-Daulah, foto de David Castor.

Aliento del Misericordioso

Este nombre poético se refiere a un patrón de octagramas que están embaldosados dejando un espacio en forma de cruz entre ellos. Nuestro punto de partida es de nuevo la cuadrícula de cinco círculos.

Paso 1

Los cuadrados dinámicos ya están marcados por las diagonales. Para dibujar los cuadrados dinámicos, debes unir los lados horizontales...

Breath of the Compassionate step 1Breath of the Compassionate step 1Breath of the Compassionate step 1

Paso 2

... luego los lados verticales.

Breath of the Compassionate step 2Breath of the Compassionate step 2Breath of the Compassionate step 2

Paso 3

Ahora simplemente traza las estrellas de ocho puntas

Breath of the Compassionate step 3Breath of the Compassionate step 3Breath of the Compassionate step 3

En el patrón terminado se puede ver de dónde proviene la idea de respirar: los octagramas son como cuadrados "expirando" (expanden), mientras que las cruces son cuadrados "respirando" (se contraen).

Tiles from Iran forming the Breath of the Compassionate patternTiles from Iran forming the Breath of the Compassionate patternTiles from Iran forming the Breath of the Compassionate pattern
Azulejos de Irán en el patrón Respiración de la Misericordia (girado 45º). Foto de Jean-Pierre Dalbéra.

Octágonos Estáticos Embaldosados

Este patrón se basa en la construcción estática del octágono que probamos anteriormente, así que necesitamos aplicar eso en la cuadrícula. Felizmente, no hay necesidad de dibujar todas las cuadrados y luego marcar ocho puntos en cada uno de ellos! Sólo necesitamos los puntos más externos, porque todo se une en un conjunto.

Paso 1

Punta seca en la esquina de su cuadrado delimitador, abriéndose al centro del círculo, marque dos puntos.

Tiled Static Octagons step 1Tiled Static Octagons step 1Tiled Static Octagons step 1

Paso 2

Repita esto en las otras tres esquinas del cuadrado delimitador, marcando seis puntos más.

Tiled Static Octagons step 2Tiled Static Octagons step 2Tiled Static Octagons step 2

Paso 3

Continúe haciendo esto con la punta seca en las intersecciones inferiores, que son esencialmente las esquinas de los cuadrados más pequeños (virtuales) alrededor de cada círculo.

Tiled Static Octagons step 3Tiled Static Octagons step 3Tiled Static Octagons step 3

Paso 4

Con un lápiz más suave para que pueda ver estas líneas mejor sobre la cuadrícula antigua, conecte diagonalmente todos los puntos periféricos que acaba de marcar. Se trata de una nueva cuadrícula con nuevas intersecciones.

Tiled Static Octagons step 4Tiled Static Octagons step 4Tiled Static Octagons step 4

Paso 5

Conecte las intersecciones para obtener octágonos adyacentes a un lado.

Tiled Static Octagons step 5Tiled Static Octagons step 5Tiled Static Octagons step 5
Finished patternFinished patternFinished pattern

Y para terminar, aquí hay un patrón completo que aparece si conecta las líneas para que los octágonos se superpongan:

Alternative patternAlternative patternAlternative pattern
Alternative patternAlternative patternAlternative pattern

Eso es todo para esta lección. Trabajando solo con 4 y 8, aprendimos a construir cuadrados, octágonos y estrellas de cuatro y ocho puntas en dos estados diferentes, luego la cuadrícula cuadrada asociada con estos números y cuatro patrones directamente cedidos por esta cuadrícula- y hay más allí que posiblemente puede se enumerado. El próximo mes seguiremos el mismo proceso con otro par de números: 6 y 12.

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